(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

若函數(shù)f（x）為定義域D上單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使得當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的取值范圍恰為[a，b]，則稱(chēng)函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)，區(qū)間[a，b]叫做等域區(qū)間．
（1）已知f(x)=x
12
是[0，+∞）上的正函數(shù)，求f（x）的等域區(qū)間；
（2）試探究是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x2+m是（-∞，0）上的正函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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若函數(shù)f（x）同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)其為“規(guī)則函數(shù)”
①函數(shù)f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)；
②在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是
a
2
，且最大值是
b
2
．
請(qǐng)解答以下問(wèn)題：
（Ⅰ） 判斷函數(shù)f（x）=x2-2x，（x∈（0，+∞））是否為“規(guī)則函數(shù)”？并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g（x）=-x3是否為“規(guī)則函數(shù)”？并說(shuō)明理由．若是，請(qǐng)找出滿足②的閉區(qū)間[a，b]；
（Ⅲ）若函數(shù)h(x)=
x-1
+t是“規(guī)則函數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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若函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)滿足：，求的取值范圍.  （     ）

A．     B．    C．    D．   

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若函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若

實(shí)數(shù)滿足：，求的取值范圍.      

 

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若函數(shù)為定義域上單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間（其中），使得當(dāng)時(shí)，的取值范圍恰為，則稱(chēng)函數(shù)是上的正函數(shù)，區(qū)間叫做等域區(qū)間．

（1）已知是上的正函數(shù)，求的等域區(qū)間；

（2）試探究是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是上的正函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

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一、             

二、11.210      12.         13.2    14.         15. 或或

三．解答題：

16. 解：（1）

……………………………………………………………3分

由題意得周期，故…………………………………………4分

又圖象過(guò)點(diǎn)，所以

即，而，所以

∴……………………………………………………6分

（2）當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，是減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，是增函數(shù)

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是………………12分

17.解：記“甲回答對(duì)這道題”、“ 乙回答對(duì)這道題”、“丙回答對(duì)這道題”分別為事件、、，則，且有，即

∴……………………………………………………………………6分

（2）由（1）,.

則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對(duì)該題的概率為：

……………………12分

18. 解法一 公理化法

（1）當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?sub>為正三角形，則，由于為的中點(diǎn)時(shí)，

∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

（2）當(dāng)時(shí)，過(guò)作于,如圖所示，則底面,過(guò)作于,連結(jié)，則,為二面角的平面角，

又,

又，

,即二面角的大小為.…………………………………………………8分

(3)設(shè)到面的距離為，則,平面,

即為點(diǎn)到平面的距離，

又，

即解得，

即到平面的距離為.…………………………………………………………………………12分

解法二 向量法

以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)點(diǎn)與垂直的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)，則

（1）由得，

則，

，………………………………4分

（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即

取，則，

又平面的一個(gè)法向量為

又由于二面角是一個(gè)銳角，則二面角的大小是.……………………8分

（3）設(shè)到面的距離為，

則

到平面的距離為.………………………………………………………………………12分

19. 解：(Ⅰ)由于，

故在點(diǎn)處的切線方程是…………………………………………2分

即，故與表示同一條直線，

，即，，.……6分

(Ⅱ) 由于，

則或，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，…………………………8分

故或或

 

或或，或或

實(shí)數(shù)的取值范圍是.………………………………………………………12分

20. 解：（Ⅰ）設(shè)過(guò)與拋物線的相切的直線的斜率是，

則該切線的方程為：

由得

，

則都是方程的解，故………………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)

由于，故切線的方程是：，又由于點(diǎn)在上，則

則，

，同理

則直線的方程是，則直線過(guò)定點(diǎn).………………………………………8分

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，

而到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).………………………………………………………………10分

設(shè)

由得，則

.…………13分

21. 解：(Ⅰ)由題意知即……1分

 …………3分

檢驗(yàn)知時(shí)，結(jié)論也成立

故.………………………………………………………………………………4分

(Ⅱ) ①由于

故 ………………………………………………9分

②若，其中，則有，則，

故，

取（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)），則當(dāng)時(shí)，. ………………………………………………………14分

 

 

 


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