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（2013•資陽二模）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D、E分別為A₁B₁、AA₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且AF=

1

4

AB．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AC上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1：15，若存在，指出點(diǎn)G的位置；若不存在，說明理由．

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一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12：BC.

二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分．

13．1或； 14．-4； 15．1； 16．6．

三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵，

∴，????????????????????????? 3分

∴．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)�。ⅲ剑ⅲ�??? 8分

∵，∴，???????????? 10分

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取＂＝＂．

故△ABC面積取最大值為．?????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）設(shè)袋中有黑球n個(gè)，則每次取出的一個(gè)球是黑球的概率為，    3分

設(shè)“連續(xù)取兩次，都是黑球”為事件A，∴，???????? 5分

∴，∴．?????????????????????? 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，每次取出一個(gè)球，取到紅球的概率是．???????? 7分

設(shè)“連續(xù)取4次球，取到紅球恰為2次”為事件B，“連續(xù)取4次球，取到紅球恰為3次”為事件C，

∴；?????????????????????? 8分

．???????????????????????? 10分

∴取到紅球恰為2次或3次的概率為．

故連續(xù)取4次球，取到紅球恰為2次或3次的概率等于.?????????? 12分

19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等邊三角形，設(shè)O是AA₁的中點(diǎn)，連接BO，則BO⊥AA₁．???????????????????????????????? 2分

∵側(cè)面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面積為，知C到AA₁的距離為，，∴△AA₁C₁是等邊三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．??????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．則，，，．??????????????????????????? 5分

設(shè)是平面ABC的一個(gè)法向量，

則即

令，則．設(shè)A₁到平面ABC的距離為d．

∴．????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個(gè)法向量是，又平面ACC₁的一個(gè)法向量．∴．???????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．??????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ）證明：時(shí)，，；?????????????? 1分

時(shí)，，所以，???????????? 2分

即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為2 的等差數(shù)列．????????????? 3分

∴，，???????????????????? 4分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．???????? 5分

∴ ???????????????????????? 6分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立．????????????? 7分

當(dāng)時(shí)，?????? 8分

＝

????????????????????? 10分

．???????????????????????? 11分

綜上所述：．????????????????? 12分

21．解：（Ⅰ）∵，∴．比較系數(shù)得，，，．????????????????????????????????? 1分

∴，，，???????????????????? 2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，令，得或或．

x

1

2

+

0

-

0

+

0

-

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄋ

∴函數(shù)有極大值，，極小值．????? 4分

∵函數(shù)在區(qū)間上存在極值，

∴或或???????????? 5分

解得或或．

故實(shí)數(shù)．??????????????????? 6分

（Ⅲ）函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，有如下兩種情況：

（?）當(dāng)函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)時(shí)，必須有：

即??????????? 7分

而，函數(shù)的值域?yàn)?sub>，

∴解得．???????????????????? 8分

（?）當(dāng)函數(shù)的圖象與y軸無交點(diǎn)時(shí)，必須有：

即而有意義，    9分

∴即解得．??????????? 10分

由（?）、（?）知，p的范圍是，

故實(shí)數(shù)p的取值范圍是．???????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）設(shè)，，，，

，，，，

．?????????????????????? 2分

∵，∴，∴，∴．???????? 4分

則N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，則，． ?????????????????? 5分

∴橢圓的方程為．?????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則，即,????????? 7分

由消去y得．

∵直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，設(shè)，

，

∴，，?????????????????? 8分

∴，

由，?????????????????? 9分

，．??????????????????????? 10分

．??????????? 11分

（或）．

設(shè)，則，，，

∴S關(guān)于u在區(qū)間單調(diào)遞增，又，，???????? 13分

∴．???????????????????????????? 14