已知二次函數(shù). 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知二次函數(shù)g（x）對任意實數(shù)x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（1）=-1．
（1）求g（x）的表達式；
（2）設1＜m≤e，H（x）=g（x+
1
2
）+mlnx-（m+1）x+
9
8
，求證：H（x）在[1，m]上為減函數(shù)；
（3）在（2）的條件下，證明：對任意x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1．

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已知二次函數(shù)f（x）=x2+bx+1（b∈R），滿足f（-1）=f（3）．
（1）求b的值；
（2）當x＞1時，求f（x）的反函數(shù)f-1（x）；
（3）對于（2）中的f-1（x），如果f-1(x)＞m(m-
x
)在[
1
4
，
1
2
]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（x∈R）的最小值為0，且滿足條件①f（x-4）=f（2-x），②對任意的x∈R有f（x）≥x，當x∈（0，2）時，f(x)≤(
x+1
2
)2，那么f（a）+f（c）-f（b）的值為（　�。�
A、0
B、
7
32
C、
9
16
D、1

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已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的導數(shù)為f′（x），f′（0）＞0，對于任意實數(shù)x都有f（x）≥0，則
f(1)
f′(0)
的最小值為（　�。�
A、3
B、
5
2
C、2
D、
3
2

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已知二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b、c∈R），不論α、β為何實數(shù)，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
（1）求證：b+c=-1；
（2）求證：c≥3；
（3）若函數(shù)f（sinα）的最大值為8，求b、c的值．

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一．選擇題：DCDDA  DDBBC

解析：1：復數(shù)i的一個輻角為900，利用立方根的幾何意義知，另兩個立方根的輻角分別是900+1200與900+2400，即2100與3300，故虛部都小于0，答案為（D）。 

2：把x=3代入不等式組驗算得x=3是不等式組的解，則排除(A)、(B), 再把x=2代入不等式組驗算得x=2是不等式組的解，則排除(D)，所以選(C).

3：在題設條件中的等式是關于與的對稱式，因此選項在A、B為等價命題都被淘汰，若選項C正確，則有，即，從而C被淘汰，故選D。

4：“對任意的x1、x2­，當時，”實質上就是“函數(shù)單調遞減”的“偽裝”，同時還隱含了“有意義”。事實上由于在時遞減，從而由此得a的取值范圍為。故選D。

5：由韋達定理知

.從而，故故選A。

6：當點A為切點時，所求的切線方程為，當A點不是切點時，所求的切線方程為故選D。

7：由已知條件可知，EF∥平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2， ∴VF－ABCD＝?32?2＝6，而該多面體的體積必大于6，故選（D）.

8：由二項展開式系數(shù)的性質有C＋C＋…＋C＋C＝2，選B.

9：取特殊數(shù)列=3，則==10，選(B).

10：本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的一個關系式，故可用特殊方程來考察。取雙曲線方程為－=1，易得離心率e=,cos=，故選C。

二．填空題：11、； 12、；13、；14、，；15、，；

解析：11：因為（定值），于是，，，又，  故原式=。

12：因為正方形的面積是16，內切圓的面積是，所以豆子落入圓內的概率是．

13：設k = 0，因拋物線焦點坐標為把直線方程代入拋物線方程得，∴，從而。

14.（略）

15.（略）

三．解答題：

16．解：（1）∵對任意，，∴--2分

    ∵不恒等于，∴--------------------------4分

   （2）設

①時，由  解得：

由  解得其反函數(shù)為  ，-----------------7分

②時，由  解得：

解得函數(shù)的反函數(shù)為，--------------------9分

∵

∴------------------------------------------------------------------12分

 

１7．解：（Ⅰ）依題意，有

，．

因此，的解析式為；      …………………6分

（Ⅱ）由（）得（），解之得

（）

由此可得

且，

所以實數(shù)的取值范圍是．    …………………12分

 

18.（I）因為側面是圓柱的的軸截面，是圓柱底面圓周上不與、重合一個點，所以  …………………2分

又圓柱母線^平面， Ì平面，所以^，

又，所以^平面，

因為Ì平面，所以平面平面；…………………………………6分

（II）設圓柱的底面半徑為，母線長度為，

當點是弧的中點時，三角形的面積為，

三棱柱的體積為，三棱錐的體積為，

四棱錐的體積為，………………………………………10分

圓柱的體積為，                    ………………………………………………12分

四棱錐與圓柱的體積比為.……………………………………………14分

 

19.(Ⅰ)解：∵

        ∴

∴數(shù)列是首項為（），公比為2的等比數(shù)列，………………4分

，

，∴數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列

，∴…                      …………………7分

（Ⅱ）令代入得：

解得:

由此可猜想，即 …………………10分

下面用數(shù)學歸納法證明：

（1）當n＝1時，等式左邊＝1，右邊＝,

當n＝1時，等式成立，

（2）假設當n＝k時，等式成立，即

當n＝k＋1時

 

∴當n＝k＋1時，等式成立，

綜上所述，存在等差數(shù)列，使得對任意的有成立。              …………………14分

 

 

20.解：(Ⅰ)∵軸，∴,由橢圓的定義得：，  ……………2分

∵，∴，

又得    ∴      ………………4分

∴，∴所求橢圓C的方程為．  …………………6分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知點A(－2,0)，點B為（0，－1），設點P的坐標為

則，,  由－4得－，

∴點P的軌跡方程為      …………………8分

設點B關于P的軌跡的對稱點為，則由軸對稱的性質可得：，

解得：，…………………10分

∵點在橢圓上，

∴ ，

整理得解得或  …………………12分

∴點P的軌跡方程為或，經(jīng)檢驗和都符合題設，

∴滿足條件的點P的軌跡方程為或．…………………14分

 

21.解（1）         …………………1分

，

當時，函數(shù)有一個零點；

當時，，函數(shù)有兩個零點�！�3分

（2）令，則

 ，…………………5分

在內必有一個實根。即，使成立�！�8分

（3）       假設存在，由①知拋物線的對稱軸為x＝－1，且

∴     ………………10分

由②知對,都有

令得

由得，                          …………………12分

當時，，其頂點為（－1，0）滿足條件①，又對,都有，滿足條件②。

∴存在，使同時滿足條件①、②。     …………………14分


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