若方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂，則有 此定理叫韋達(dá)定理，根據(jù)韋達(dá)定理可以求解下題：已知lgm，lgn是方程2x²-4x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則
（1）求mn的值；
（2）求log_nm+log_mn的值．

已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率是時(shí)，．

（１）求拋物線的方程；

（２）設(shè)線段的中垂線在軸上的截距為，求的取值范圍．

【解析】（1）B,C，當(dāng)直線的斜率是時(shí)，

的方程為，即                                （1’）

聯(lián)立  得，         （3’）

由已知  ,                    （4’）

由韋達(dá)定理可得G方程為            （5’）

（2）設(shè)：，BC中點(diǎn)坐標(biāo)為               （6’）

得 由得       （8’）

    

BC中垂線為             （10’）

                  （11’）

 

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)．

⑴求的周長(zhǎng)；

⑵若的傾斜角為，求的面積．

【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義的周長(zhǎng)等于4a.

（2）設(shè),則,然后直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x，利用韋達(dá)定理可求出所求三角形的面積.

 

過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上的定點(diǎn)，作直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．

（I）試證明兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；

（II）若點(diǎn)是定直線上的任一點(diǎn)，試探索三條直線的斜率之間的關(guān)系，并給出證明.

【解析】本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

（1）中證明：設(shè)下證之：設(shè)直線AB的方程為: x=ty+m與y²=2px聯(lián)立得消去x得y²=2pty-2pm=0，由韋達(dá)定理得 

 (2)中：因?yàn)槿龡l直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列，下證之

設(shè)點(diǎn)N（-m,n），則直線AN的斜率K_AN=，直線BN的斜率K_BN=

  

K_AN+K_BN=+

本題主要考查拋物線與直線的位置關(guān)系以及發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．