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A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，直角△ABC中，∠B=90°，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，點E是AB的中點．
求證：DE是⊙O的切線．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值-1及其對應的一個特征向量為

1 -4

，點P（2，-1）在矩陣A對應的變換下得到點P′（5，1），求矩陣A．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρcos(θ-

π

4

)=

2

，曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosα y=sinα

（α為參數(shù)），求曲線C截直線l所得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b，c都是正數(shù)，且abc=8，求證：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC
交于點D．求證：ED²=EB•EC．
B．選修4-2：矩陣與變換
求矩陣M=

-1 4 2 6

的特征值和特征向量．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在以O為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是ρcos(θ+

π

4

)=

3 2

2

和ρsin²θ=4cosθ，直線l與曲線C交于點．A，B，C，求線段AB的長．
D．選修4-5：不等式選講
對于實數(shù)x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

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A．（不等式選講選做題）如果存在實數(shù)x使不等式|x+1|-|x-2|＜k成立，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．
B．（幾何證明選講選做題）如圖，圓O是△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD=2

7

，AB=BC=3，則AC的長為

 

．
C．（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲線
ρ=2sinθ與ρcosθ=-1的交點的極坐標為

 

．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.

1．A  2．C  3．C  4．A   5．C   6．C  7．B  8．C   9．D  10．D   11．D  12．D

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.

13．   14．    15．     16．40

三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17．解：

，聯(lián)合

得，即

當時，

當時，

∴當時，

當時，

18．解：由題意可知，這個幾何體是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁.

   （1）連結AC₁，AB₁.

    由直三棱柱的性質得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，所以AA₁⊥A₁B₁，則四邊形ABB₁A₁為短形.

    由矩形性質得AB₁過A₁B的中點M.

在△AB₁C₁中，由中位線性質得MN//AC₁，

    又AC₁平面ACC₁A₁，MN平面ACC₁A₁，

所以MN//平面ACC₁A₁

   （2）因為BC⊥平面ACC₁A₁，AC平面ACC₁A₁，所以BC⊥AC₁.

在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁.

又因為BC∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC.

由MN//AC₁，得MN⊥平面A₁BC

19．解：（1）基本事件空間與點集中                                     

的元素一一對應． 

    因為S中點的總數(shù)為5×5=25(個)，所以基本事侉總數(shù)為n=25

    事件A包含的基本事件數(shù)共5個：

    (1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)，

所以

   （2）B與C不是互斥事件．因為事件B與C可以同時發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合題意

   （3）這種游戲規(guī)則不公平．由 (Ⅰ)知和為偶數(shù)的基本事件數(shù)為13個：

(1，1)、(1，3)、(1，5)、(2，2)、(2，4)、(3，1)、(3，3)、(3，5)、(4，2)、(4，4)、(5，1)、 (5，3)、(5，5)

所以甲贏的概率為，乙贏的概率為，

    所以這種游戲規(guī)則不公平．

20．（1）依題意，點的坐標為，可設，

直線的方程為，與聯(lián)立得

消去得．

由韋達定理得，．

于是．

，

   當，．

   （2）假設滿足條件的直線存在，其方程為，

設的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，

則，點的坐標為．

，

，

，

．

令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．

21．解：（1）當時，，

∵，∴在上是減函數(shù).

   （2）∵不等式恒成立，即不等式恒成立，

∴不等式恒成立. 當時，  不恒成立；

當時，不等式恒成立，即，∴.

當時，不等式不恒成立. 綜上，的取值范圍是.

22．解：（1）∵ 的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數(shù)列

∴ .

∵ 位于函數(shù)的圖象上,

∴ ,

∴ 點的坐標為.

   （2）據(jù)題意可設拋物線的方程為：,

即．

∵ 拋物線過點（0，）,

∴ ,

∴   ∴ ．

∵ 過點且與拋物線只有一個交點的直線即為以為切點的切線，

∴ ．

∴ （），

∴

∴ ．

   （3）∵    ，

∴ 中的元素即為兩個等差數(shù)列與中的公共項，它們組成以為首項，以為公差的等差數(shù)列．

∵ ，且成等差數(shù)列，是中的最大數(shù)，

∴ ，其公差為．

當時，，

此時    ∴ 不滿足題意，舍去．

當時，，

此時，

∴ ．

當時，．

此時， 不滿足題意，舍去．

綜上所述，所求通項為．