已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A（2，0），右焦點(diǎn)為F、O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F，A到漸近線的距離之比為，過點(diǎn)B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點(diǎn)P，Q．
（I）求雙曲線的方程及k的取值范圍；
（II）是否存在常數(shù)k，使得向量垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

已知雙曲線C的方程為（a>0，b>0），右準(zhǔn)線方程為x=，右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)到漸近線的距離之比為。
（1）求雙曲線C的方程；
（2）雙曲線C上是否存在A，B兩點(diǎn)，使得原點(diǎn)O到直線AB的距離為？若存在，求|AB|的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。

如圖，A為雙曲線M：x²-y²=1的右頂點(diǎn)，平面上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到直線l：x=-1的距離相等．
（Ⅰ） 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡N的方程；
（Ⅱ）已知雙曲線M的兩條漸近線分別與軌跡N交于點(diǎn)B，C（異于原點(diǎn)）．試問雙曲線M上是否存在一點(diǎn)D，滿足

DB

•

DC

=

DA

2？若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．