題目列表(包括答案和解析)
設(shè)橢圓 :()的一個(gè)頂點(diǎn)為,,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率 ,過(guò)橢圓右焦點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于 , 兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線 ,使得 ,若存在,求出直線 的方程;若不存在,說(shuō)明理由;
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。(1)中橢圓的頂點(diǎn)為,即又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714546570844292_ST.files/image015.png">,得到,然后求解得到橢圓方程(2)中,對(duì)直線分為兩種情況討論,當(dāng)直線斜率存在時(shí),當(dāng)直線斜率不存在時(shí),聯(lián)立方程組,結(jié)合得到結(jié)論。
解:(1)橢圓的頂點(diǎn)為,即
,解得, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 --------4分
(2)由題可知,直線與橢圓必相交.
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)不合題意. --------5分
②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)存在直線為,且,.
由得, ----------7分
,,
=
所以, ----------10分
故直線的方程為或
即或
已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若過(guò)點(diǎn)A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn),利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依題意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切線過(guò)點(diǎn)A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.
∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2
畫(huà)出草圖知,當(dāng)-6<m<2時(shí),m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范圍是(-6,2).
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