題目列表(包括答案和解析)
(A)過(guò)P只能作一條直線與平面α相交 (B)過(guò)P可作無(wú)數(shù)條直線與平面α垂直
(C)過(guò)P只能作一條直線與平面α平行 (D)過(guò)P可作無(wú)數(shù)條直線與平面α平行
(06年重慶卷文)若是平面外一點(diǎn),則下列命題正確的是
(A)過(guò)只能作一條直線與平面相交 (B)過(guò)可作無(wú)數(shù)條直線與平面垂直
(C)過(guò)只能作一條直線與平面平行 (D)過(guò)可作無(wú)數(shù)條直線與平面平行
若是平面外一點(diǎn),則下列命題正確的是
(A)過(guò)只能作一條直線與平面相交 (B)過(guò)可作無(wú)數(shù)條直線與平面垂直
(C)過(guò)只能作一條直線與平面平行 (D)過(guò)可作無(wú)數(shù)條直線與平面平行
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長(zhǎng).
【解析】解法一:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,于是,所以
(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,
則,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如圖,作于點(diǎn)H,連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值為.
(3)如圖,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">,故過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點(diǎn)為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
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