(I)證明:, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（I）①證明兩角和的余弦公式C（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由C（α+β）推導兩角和的正弦公式S（α+β）：sin（α+β）= sinαcosβ+cosαsinβ；
（Ⅱ）已知。

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（I）已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，設(shè)斜率為k的直線l，交橢圓C于A、B兩點，AB的中點為M．證明：當直線l平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上；
（Ⅱ）利用（I）所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標出橢圓的中心．

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（I）已知橢圓C的方程是數(shù)學公式，設(shè)斜率為k的直線l，交橢圓C于A、B兩點，AB的中點為M．證明：當直線l平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上；
（Ⅱ）利用（I）所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標出橢圓的中心．

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已知集合

   （I）證明：；

   （II）某同學注意到是周期函數(shù)，也是偶函數(shù)，于是他著手探究：M中的元素是否都是周期函數(shù)？是否都是偶函數(shù)？對這兩個問題，給出并證明你的結(jié)論.

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（I）已知橢圓C的方程是，設(shè)斜率為k的直線l，交橢圓C于A、B兩點，AB的中點為M．證明：當直線l平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上；
（Ⅱ）利用（I）所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標出橢圓的中心．

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一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

2,4,6

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9．120   10．5    11．   12．   13．1（2分），（3分）

14．4（2分），（3分）

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15．（本小題滿分12分）

   （I）解：因為α為第二象限的角，，

所以，，………………………………………2分

 ……………………………………………………… 4分

又，

所以， …………………………… 6分

   （II）解：因為β為第三象限的角，，

所以， …………………………………………8分

又，………10分

所以， ………………12分

16．（本小題滿分12分）

   （I）解：記這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗成功的事件為

    由題意，這兩套試驗方案在一次試驗中不成功的概率均為1－p.

所以，，

 

從而，

令 ………………………………………6分

   （II）解：ξ的可取值為0，1，2. ……………………………………………7分

 ……………………………………………………10分

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

P

0.49

0.42

0.09

ξ的數(shù)學期望……12分

解法一（I）證明：

連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.

∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，

∴四邊形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中點，

又D是BC的中點，

∴DE∥A1C. ………………………… 3分

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分

   （II）解：在面ABC內(nèi)作DF⊥AB于點F，在面A1ABB1內(nèi)作FG⊥AB1于點G，連接DG.

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A1ABB1，

∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，  ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1

∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………7分

設(shè)A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分

   （III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.

在平面B1BCC1內(nèi)作CH⊥B1D交B1D的延長線于點H，

則CH的長度就是點C到平面AB1D的距離. ……………………………12分

由△CDH∽△B1DB，得

即點C到平面AB1D的距離是 ……………………………………14分

    
   
    
    
    
    
    
    建立空間直角坐標系D―xyz，如圖，
      
（I）證明：
    連接A1B，設(shè)A1B∩AB1 = E，連接DE.
    設(shè)A1A
= AB = 1，
    則
     …………………………3分
    ，
     ……………………………………4分
      
（II）解：， ，
    設(shè)是平面AB1D的法向量，則，
    故；
    同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………7分
    設(shè)二面角B―AB1―D的大小為θ，，
    ∴二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分
      
（III）解由（II）得平面AB1D的法向量為，
    取其單位法向量
    ∴點C到平面AB1D的距離 ……………………14分
    18．（本小題滿分14分）
      
（I）解：依題意，直線l顯然不平行于坐標軸，故
    將，得
         
① ………………………… 3分
    由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得
    ，
    即 …………………………………………………… 5分
      
（II）解：設(shè)由①，得
    因為，代入上式，得  ……………8分
    于是，△OAB的面積 
                         
 ………………11分
    其中，上式取等號的條件是 ……………………12分
     
    由
    將這兩組值分別代入①，均可解出
    所以，△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 ………………14分
    19．（本小題滿分14分）
      
（I）解：對函數(shù) ……………………… 2分
    要使上是增函數(shù)，只要上恒成立，
    即上恒成立 ……………………………………4分
    因為上單調(diào)遞減，所以上的最小值是，
    注意到a > 0，所以a的取值范圍是 ……………………………………6分
      
（II）解：①當時，由（I）知，上是增函數(shù)，
    此時上的最大值是 ……………………8分
    ②當，
    解得 ……………………………………………………10分
    因為，
    所以上單調(diào)遞減，
    此時上的最大值是………… 13分
    綜上，當時，上的最大值是；
    當時，上的最大值是 ……………14分
    20．（本小題滿分14分）
      
（I）解：顯然 ……………………………………1分
    當 ……………………………………3分
    所以，
            
 …………………………6分
      
（II）解：
      
………………………………………………9分
      

         ………………12分
    當
    所以，M的最小值為 ………………………………14分
     
     
    		
    
	
	
    
		
    


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