已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a.b.c.d, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù) 的定義域是 ， 是 的導(dǎo)函數(shù)，且 在上恒成立
（Ⅰ）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。
（Ⅱ）若函數(shù) ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（Ⅲ）設(shè) 是 的零點(diǎn) ， ，求證： ．

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已知函數(shù)f(x)=
12
x2+x，g（x）=2a2lnx+（a+1）x．
（1）求過點(diǎn)（2，4）與曲線y=f（x）相切的切線方程；
（2）如果函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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已知函數(shù)f（x）=ax2+lnx（x＞0），g（x）=2x（x∈R），函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)f′（x）、h′（x）分別是f（x）、h（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程h′（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有唯一解，
①令函數(shù)mn（x）=[f′（x）]n-f（xn+
1
xn
），其中n∈N*且n≥2.2函數(shù)y=mn（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值；
②求證：對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，都有
n
i=2
1
mi(x)
＜
5
6
．

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已知函數(shù)f（x）=2lnx-x2（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與最值；
（2）若方程2xlnx+mx-x3=0在區(qū)間[
1e
，e]內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；  （其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（3）如果函數(shù)g（x）=f（x）-ax的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求證：g'（px1+qx2）＜0（其中，g'（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)，正常數(shù)p，q滿足p+q=1，q＞p）

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已知函數(shù)f（x）=x3-ax2-x+a，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（3）若f（x）在（-∞，-2]和[3，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍．

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一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12：BC.

二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分．

13．1或； 14．-4； 15．1； 16．6．

三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵，

∴，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取＂＝＂．??????????? 8分

∵，∴，?????????????????????????????????????????? 10分

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)�。ⅲ剑ⅲ�

故△ABC面積取最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

 

18．解：（Ⅰ）設(shè)袋中有黑球n個(gè)，則每次取出的一個(gè)球是黑球的概率為，       3分

設(shè)“連續(xù)取兩次，都是黑球”為事件A，∴，????????????????????????????? 5分

∴，∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，每次取出一個(gè)球，取到紅球的概率是．????????????????????????????? 7分

設(shè)“連續(xù)取4次球，取到紅球恰為2次”為事件B，“連續(xù)取4次球，取到紅球恰為3次”為事件C，

∴；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴取到紅球恰為2次或3次的概率為．

故連續(xù)取4次球，取到紅球恰為2次或3次的概率等于.???????????????????????????????????? 12分

 

19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA1C1C是菱形，∴AA1＝A1C1＝C1C＝CA＝1，∴△AA1B是等邊三角形，設(shè)O是AA1的中點(diǎn)，連接BO，則BO⊥AA1．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵側(cè)面ABB1A1⊥AA1C1C，∴BO⊥平面AA1C1C，菱形AA1C1C面積為，知C到AA1的距離為，，∴△AA1C1是等邊三角形，且C1O⊥AA1，又C1O∩BO=O．

∴AA1⊥面BOC1，又BC1Ì面BOC1．∴AA1⊥BC1．???????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC1、OB兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．則，，，．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

設(shè)是平面ABC的一個(gè)法向量，

則即

令，則．設(shè)A1到平面ABC的距離為d．

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個(gè)法向量是，又平面ACC1的一個(gè)法向量．∴．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C1的余弦值是．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

 

20．解：（Ⅰ）證明：時(shí)，，；????????????????????????????????????????????????? 1分

時(shí)，，所以，????????????????????????????????????????? 2分

即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為2 的等差數(shù)列．????????????????????????????????????????????? 3分

∴，，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．?????????????????????????????? 5分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立．??????????????????????????????????????????????? 7分

當(dāng)時(shí)，????????????????????? 8分

＝

????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

綜上所述：．?????????????????????????????????????????????????????? 12分

 

21．解：（Ⅰ）∵，∴．比較系數(shù)得，，，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

∴，，，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，令，得或或．

x

1

2

+

0

-

0

+

0

-

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄋ

∴函數(shù)有極大值，，極小值．?????????????????? 4分

∵函數(shù)在區(qū)間上存在極值，

∴或或???????????????????????????????????????????? 5分

解得或或．

故實(shí)數(shù)．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅲ）函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，有如下兩種情況：

（?）當(dāng)函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)時(shí)，必須有：

即???????????????????????????????????????? 7分

而，函數(shù)的值域?yàn)?sub>，

∴解得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（?）當(dāng)函數(shù)的圖象與y軸無交點(diǎn)時(shí)，必須有：

即而有意義，???????? 9分

∴即解得．????????????????????????????????????????? 10分

由（?）、（?）知，p的范圍是，

故實(shí)數(shù)p的取值范圍是．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）設(shè)，，，，

，，，，

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵，∴，∴，∴．??????????????????????????? 4分

則N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，則，． ???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

∴橢圓的方程為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則，即,????????????????????????????????? 7分

由消去y得．

∵直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，設(shè)，

，

∴，，?????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

∴，

由，???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

，．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

．???????????????????????????????????????? 11分

（或）．

設(shè)，則，，，

∴S關(guān)于u在區(qū)間單調(diào)遞增，又，，?????????????????????????????? 13分

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分

 

 

 


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