(3)證明:①,②(n∈N.n≥2) 西安中學(xué)高三第三次年級(jí)統(tǒng)考數(shù)學(xué)(理)答卷紙題號(hào)123456789101112答案 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

函數(shù)f（x）=x-alnx+
a+1
x
（a＞0）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求使函數(shù)f（x）有零點(diǎn)的最小正整數(shù)a的值；
（3）證明：ln（n!）-ln2＞
6n3-n2-19n-6
12n(n+1)
（n∈N*，n≥3）．

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已知數(shù)列{an}中，a1=1，前n項(xiàng)和為sn，當(dāng)n≥2，（n∈N*），an=
3
2
sn-
3
4
sn-1-1．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{n•|an|}的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)任意n∈N*，都有Tn＜C，求正整數(shù)C的最小值；
（3）證明：對(duì)一切n≥2，n∈N*時(shí)，n-
1
2
＜
|a2|
|a1|
+
|a3|-1
|a2|-1
+
|a4|-1
|a3|-1
+…+
|an+1|-1
|an|-1
＜n+
1
2
．

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已知對(duì)任意的x＞0恒有a1nx≤b（x-1）成立．
（1）求正數(shù)a與b的關(guān)系；
（2）若a=1，設(shè)f（x）=m
x
+n，（m，n∈R），若1nx≤f（x）≤b（x-1）對(duì)?x＞0恒成立，求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）證明：1n（n!）＞2n-4
n
（n∈N，n≥2）

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（2013•揭陽二模）設(shè)函數(shù)fn(x)=xn(1-x)2在[
1
2
，1]上的最大值為an（n=1，2，…）．
（1）求a1，a2的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)任意n∈N*（n≥2），都有an≤
1
(n+2)2
成立．

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（2011•濟(jì)南二模）已知函數(shù)f（x）=plnx+（p-1）x2+1．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)P=1時(shí)，f（x）≤kx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：1n（n+1）＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
（n∈N+）．

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三、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

B

B

D

B

D

A

B

C

B

四、填空題

13．2      14. 31    15.     16.  2.

三、解答題

17．解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

（Ⅱ）由解得

∴ 的單調(diào)遞增區(qū)間為。

18．（I）解：記這兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗(yàn)成功的事件為    由題意，這兩套試驗(yàn)方案在一次試驗(yàn)中不成功的概率均為1－p.

所以，，    從而，

令

   （II）解：ξ的可取值為0，1，2.

 

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

P

0.49

0.42

0.09

ξ的數(shù)學(xué)期望 

19．（Ⅰ）取DC的中點(diǎn)E.

∵ABCD是邊長為的菱形,，∴BE⊥CD.

∵平面, BE平面，∴ BE.

∴BE⊥平面PDC.∠BPE為求直線PB與平面PDC所成的角. 

∵BE=，PE=,∴==.  

（Ⅱ）連接AC、BD交于點(diǎn)O，因?yàn)锳BCD是菱形，所以AO⊥BD.

∵平面, AO平面，

∴ PD. ∴AO⊥平面PDB.

作OF⊥PB于F，連接AF，則AF⊥PB.

故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.

∵AO=，OF=，∴=.

20．解: （Ⅰ）在恒成立,

所以,.

又在恒成立,

所以 ,. 

從而有.

故,.

 （Ⅱ）令,

    則

所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),

從而當(dāng)時(shí),.

所以方程在只有一個(gè)解.

21．證明：由是關(guān)于x的方程的兩根得

。

，

是等差數(shù)列。

（2）由（1）知

。

。

又符合上式， 。

（3） ①

  ②

①―②得 。

。

22．解：（1）由題意

   （2）由（1）知：（x>0）

令h(x)=px2－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）為增函數(shù)，只需h(x)在（0，+∞）滿足：h(x)≥0恒成立。即px2－2x+p≥0。

上恒成立

又

所以

   （3）證明：①即證 lnx－x+1≤0  (x>0)，

設(shè).

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，k′(x)>0，∴k(x)為單調(diào)遞增函數(shù)；

當(dāng)x∈（1，∞）時(shí)，k′(x)<0，∴k(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；

∴x=1為k(x)的極大值點(diǎn)，

∴k(x)≤k(1)=0.

即lnx－x+1≤0，∴l(xiāng)nx≤x－1.

②由①知lnx≤x－1,又x>0，

 

 


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