題目列表(包括答案和解析)
設(shè)是半徑為
的圓周上一個(gè)定點(diǎn),其中
為圓心,連接
,在圓周上等可能地任取一點(diǎn)
,連接
,則弦
的長(zhǎng)超過(guò)
的概率為_(kāi)________.
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,計(jì)70分.
1.
2.
3.
4.25
5.
6.
7.
8.③
9.6
10.50%(填0.5,
都算對(duì))
11.
12.<
13.12
14.
或
二、解答題:本大題共6小題,計(jì)90分.
15.解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),點(diǎn)P共有28個(gè),而滿足
的點(diǎn)P有19個(gè),
從而所求的概率為………………………………………………………………………(7分)
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),由
構(gòu)成的矩形的面積為
,而滿足
的區(qū)域的面積為,故所求的概率為
……………………………………(14分)
16.證:(Ⅰ)連接交
于
,連接
.
∵分別是
的中點(diǎn),∴
∥
且
=
,∴四邊形
是矩形.
∴是
的中點(diǎn)………………………………………………………………………………(3分)
又∵是
的中點(diǎn),∴
∥
……………………………………………………………(5分)
則由,
,得
∥
………………………………………(7分)
(注:利用面面平行來(lái)證明的,類(lèi)似給分)
(Ⅱ) ∵在直三棱柱中,
⊥底面
,∴
⊥
.
又∵,即
⊥
,∴
⊥面
………………………(9分)
而面
,∴
⊥
……………………………………………………………(12分)
又,∴
平面
……………………………………………………………(14分)
17. 解:(Ⅰ)由,得
,所以
………………………………………………(4分)
則,所以
……………………………………………………(7分)
(Ⅱ)方案一:選擇①③.
∵A=30°,a=1,+1)b=0,所以
,則根據(jù)余弦定理,
得,解得b=
,則c=
…………………(11分)
∴…………………………………(14分)
方案二:選擇②③. 可轉(zhuǎn)化為選擇①③解決,類(lèi)似給分.
(注:選擇①②不能確定三角形)
18. 解:(Ⅰ),即
,
,準(zhǔn)線
,
……………………………………………………(2分)
設(shè)⊙C的方程為,將O、F、A三點(diǎn)坐標(biāo)代入得:
,解得
………………………………………………………(4分)
∴⊙C的方程為……………………………………………………(5分)
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為,則
,整理得:
對(duì)任意實(shí)數(shù)
都成立……………………………………………(7分)
∴,解得
或
,
故當(dāng)變化時(shí),⊙C經(jīng)過(guò)除原點(diǎn)O外的另外一個(gè)定點(diǎn)B
……………………………(10分)
(Ⅲ)由B、
、
得
,
∴,解得
……………………………………………(12分)
又 ,∴
………………………………………………………………(14分)
又橢圓的離心率(
)……………………(15分)
∴橢圓的離心率的范圍是………………………………………………………(16分)
19. (Ⅰ)證:因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù),
總成立,
令,得
,則
…………………………………………(1分)
令,得
(1) , 從而
(2),
(2)-(1)得,
…………………………………………………………………(3分)
綜上得,所以數(shù)列
是等比數(shù)列…………………………………………(4分)
(Ⅱ)正整數(shù)成等差數(shù)列,則
,所以
,
則……………………………………………………(7分)
①當(dāng)時(shí),
………………………………………………………………(8分)
②當(dāng)時(shí),
…………………………(9分)
③當(dāng)時(shí),
……………………(10分)
(Ⅲ)正整數(shù)成等比數(shù)列,則
,則
,
所以,
……………(13分)
①當(dāng),即
時(shí),
……………………………………………(14分)
②當(dāng),即
時(shí),
………………………………(15分)
③當(dāng),即
時(shí),
………………………………(16分)
20. 解:
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),
,
,
且,
所以當(dāng)時(shí),
,且
……………………………………(3分)
由于,所以
,又
,
故所求切線方程為,
即…………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ) 因?yàn)?sub>,所以
,則
當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>
,
,
所以由,解得
,
從而當(dāng)時(shí),
……………………………………………(6分)
①
當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>
,
,
所以由,解得
,
從而當(dāng)時(shí),
…………………………………………(7分)
③當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>
,
從而 一定不成立………………………………………………………………(8分)
綜上得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),
,
故 …………………………………………(9分)
從而當(dāng)時(shí),
取得最大值為
…………………………………………………(10分)
(Ⅲ)“當(dāng)時(shí),
”等價(jià)于“
對(duì)
恒成立”,
即“(*)對(duì)
恒成立” ……………………………………(11分)
①
當(dāng)時(shí),
,則當(dāng)
時(shí),
,則(*)可化為
,即
,而當(dāng)
時(shí),
,
所以,從而
適合題意………………………………………………………………(12分)
②
當(dāng)時(shí),
.
⑴
當(dāng)時(shí),(*)可化為
,即
,而
,
所以,此時(shí)要求
…………………………………………………………(13分)
⑵
當(dāng)時(shí),(*)可化為
,
所以,此時(shí)只要求
………………………………………………………(14分)
(3)當(dāng)時(shí),(*)可化為
,即
,而
,
所以,此時(shí)要求
…………………………………………………………(15分)
由⑴⑵⑶,得符合題意要求.
綜合①②知,滿足題意的存在,且
的取值范圍是
………………………………(16分)
數(shù)學(xué)附加題部分
21.A.解:因?yàn)镻A與圓相切于點(diǎn)A,所以.而M為PA的中點(diǎn),
所以PM=MA,則.
又,所以
,所以
……………………(5分)
在中,由
,
即,所以
,
從而……………………………………………………………………………(10分)
B.解:,所以
=
……………………………(5分)
即在矩陣的變換下有如下過(guò)程,
,
則,即曲線
在矩陣
的變換下的解析式為
……(10分)
C.解:由題設(shè)知,圓心,故所求切線的直角坐標(biāo)方程
為……………………………………………………………………………(6分)
從而所求切線的極坐標(biāo)方程為………………………………(10分)
D.證:因?yàn)?sub>,利用柯西不等式,得
…………………………(8分)
即………………………………………………………………………(10分)
22.解: (Ⅰ)以A為原點(diǎn),AB、AC、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0),P(0,0,1),
所以,
……………………………(4分)
故異面直線BE與PC所成角的余弦值為……………………………………(5分)
(Ⅱ)作PM⊥BE交BE(或延長(zhǎng)線)于M,作CN⊥BE交BE(或延長(zhǎng)線)于N,
則存在實(shí)數(shù)m、n,使得,
即
因?yàn)?sub>,所以
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