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2013年4月20日8點(diǎn)02分四川省雅安市蘆山縣（北緯30.3度，東經(jīng)103.0度）
發(fā)生7.0級(jí)地震，此次地震中，受災(zāi)面積大，傷亡慘重，醫(yī)療隊(duì)到達(dá)后，都會(huì)選擇一個(gè)合理的位置，使傷員能在最短的時(shí)間內(nèi)得到救治．醫(yī)療隊(duì)首先到達(dá)O點(diǎn)，設(shè)有四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，分別位于一個(gè)矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D，為了救災(zāi)及災(zāi)后實(shí)際重建需要．需要修建三條小路OE、EF和OF，要求O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，AB=50千米，BC=25

3

千米且∠EOF=90°，如圖所示．
（1）設(shè)∠BOE=α，試將△OEF的周長(zhǎng)表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）經(jīng)核算，三條路每千米鋪設(shè)費(fèi)用均為400元，試問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用．

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我市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡（單位：歲）分組：第1組[20，25），第2組[25，30），第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，應(yīng)從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？
（2）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名志愿者樣本的平均數(shù)；
（3）在（1）的條件下，該市決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率．
（參考數(shù)據(jù)：22.5×0.01+27.5×0.07+32.5×0.06+37.5×0.04+42.5×0.02=6.45）

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一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）

1．；  2．；   3．；  4．；  5． 11；  6． 210； 7． 16；   8． 3；  9．； 10．； 11． 7； 12．； 13．；  14．（結(jié)果為，不扣分）.

二、解答題：（本大題共6小題,共90分．）

15．（本小題滿(mǎn)分14分）

解：（1）50；0.04；0.10 ．    ………… 6分

       （2）如圖．      ……………… 10分

       （3）在隨機(jī)抽取的名同學(xué)中有名

出線(xiàn),．      …………… 13分

答：在參加的名中大概有63名同學(xué)出線(xiàn)．      

   ………………… 14分

16．（本小題滿(mǎn)分14分）

解：真，則有，即．                    ------------------4分

真，則有，即．     ----------------9分

若、中有且只有一個(gè)為真命題，則、一真一假．

①若真、假，則，且，即≤；   ----------------11分

②若假、真，則，且，即3≤．    ----------------13分

故所求范圍為：≤或3≤．                          -----------------14分

17．（本小題滿(mǎn)分15分）

解：（1）設(shè)在（1）的條件下方程有實(shí)根為事件．

數(shù)對(duì)共有對(duì)．                                   ------------------2分

若方程有實(shí)根，則≥，即．                 -----------------4分

則使方程有實(shí)根的數(shù)對(duì)有 共對(duì)．                                                         ------------------6分

所以方程有實(shí)根的概率．                          ------------------8分

（2）設(shè)在（2）的條件下方程有實(shí)根為事件．

，所以．

-------------10分

方程有實(shí)根對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)?sub>，．          --------------12分

所以方程有實(shí)根的概率．------------------15分

18．（本小題滿(mǎn)分15分）

解：（1）易得

．當(dāng)時(shí)，在直角中，，故．所以，．     ------------4分

所以．

所以異面直線(xiàn)與所成角余弦值為．- -----7分

（2）設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為.

則由．得可取，-------11分

， ，------------13分

，，． ，．

即直線(xiàn)與平面所成角的取值范圍為．         ------------------------15分

19．（本小題滿(mǎn)分16分）

解：（1）設(shè)關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則且，

解得，，即，故直線(xiàn)的方程為．

由，解得．                       ------------------------5分

（2）因?yàn)?sub>，根據(jù)橢圓定義，得

，所以．又，所以．所以橢圓的方程為．                                        ------------------------10分

（3）假設(shè)存在兩定點(diǎn)為，使得對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)（除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)）都有（為定值），即?，將代入并整理得…（＊）．由題意，（＊）式對(duì)任意恒成立，所以，解之得 或．

所以有且只有兩定點(diǎn)，使得為定值．   ---------------16分

20．（本小題滿(mǎn)分16分）

解：（1）．                        ------------------------2分

因?yàn)?sub>，令得；令得．所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．                                           ------------------------5分

（2）因?yàn)?sub>，設(shè)，則．----------6分

設(shè)切點(diǎn)為，則切線(xiàn)的斜率為，切線(xiàn)方程為即，由點(diǎn)在切線(xiàn)上知，化簡(jiǎn)得，即．

所以?xún)H可作一條切線(xiàn)，方程是．              ------------------------9分

（3），．                  

在上恒成立在上的最小值．--------------11分

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上最小值為，不符合題意，故舍去；               ------------------------12分

②當(dāng)時(shí)，令得．

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上遞增，的最小值為；解得．                                       ------------------------13分

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上遞減，的最小值為，無(wú)解；                                                -----------------------14分

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上遞減、在上遞增，所以的最小值為，無(wú)解．                ------------------------15分

綜上，所求的取值范圍為．                     ------------------------16分