設(shè)正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=6，當(dāng)n≥2時(shí)，有|

a

2 n

-an-1an+1| ＜  

1

2

an-1．
（1）求a₃的值；（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（3）記Tn=

12

a1

+

22

a2

+

32

a3

 +K+

n2

an

，證明：對(duì)任意n∈N^*，Tn＜

9

4

．

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=6，當(dāng)n≥2時(shí)，有．
（1）求a₃的值；（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（3）記，證明：對(duì)任意n∈N^*，．

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，
其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明：數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
（2）證明：當(dāng)λ≠18時(shí)，數(shù)列 {b_n} 是等比數(shù)列；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列 {b_n} 的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

已知數(shù)列{a_n}滿足an=

n

n-1

an-1-

1

3

n•(

2

3

)n(n≥2，n∈N*)，首項(xiàng)為a1=

4

9

；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=

n-an

3n-2an

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：

3n-4

9

＜Tn＜

n

3

；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c1=

1

2

，cn+1=

( 2 3 )k+1

ak

•

c

2 n

+cn，其中k為一個(gè)給定的正整數(shù)，
求證：當(dāng)n≤k時(shí)，恒有c_n＜1．

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明：當(dāng)λ≠-18時(shí)，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．