題目列表(包括答案和解析)
(本小題共13分)已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)求證:函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);
(Ⅱ)若函數(shù)在處取得最大值,求.
(本小題滿分13分)
已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)。
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直線,使得直線與橢圓C有公共點(diǎn),且直線OA與的距離等于4?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由。
【命題意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。
(本小題滿分13分)
已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)。
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直線,使得直線與橢圓C有公共點(diǎn),且直線OA與的距離等于4?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由。
【命題意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。
(本小題共13分)
已知函數(shù)的反函數(shù)為,數(shù)列和滿足:,,
函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為.
(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列的項(xiàng)僅最小,求的取值范圍;
(3)令函數(shù),數(shù)列滿足:,且
,其中.證明:.
(本小題共13分)
已知函數(shù)的反函數(shù)為,數(shù)列和滿足:,,
函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為.
(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列的項(xiàng)僅最小,求的取值范圍;
(3)令函數(shù),數(shù)列滿足:,且
,其中.證明:.
一、選擇題
1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.A 7.D 8.A
二、填空題
9.-8 10.(-1,-2) 11. 12.(2分);2(3分)
13.(3分) 14.3.5
三、解答題
15.解:(Ⅰ)由已知得 ………………2分
………………4分
在三角形ABC中,C=60° ………………6分
(Ⅱ)∵ …………8分
又∵ ………………9分
∴
∴ ………………11分
∴
∴ ………………13分(少一組值扣1分)
16.[解法一](Ⅰ)證:在直三棱柱ABC―A1B1C1中,AC//A1C1 ………………2分
又平面ACD ∴A1C1//平面ACD ………………4分
(Ⅱ)在直三棱柱ABC―A1B1C1中,A1A⊥平面ABC
∴A1A⊥AC ………………6分 又∠BAC=90° ∴AC⊥AB
∴AC⊥平面A1ABB1 ………………8分
又A1D平面A1ABB1, ∴AC⊥A1D
∴異面直線AC與A1D所成的角大小為 ………………9分
(Ⅲ)∵△A1B1D和△ABD都為等腰直角三角形,∴∠A1DB1=∠ADB=45°
∴∠A1DA=90°即 A1D⊥AD …………11分 由(Ⅱ)知A1D⊥AC,
∴A1D⊥平面ACD ……………………14分
[解法二]向量法(略)
17.解:(Ⅰ)圓心坐標(biāo)C(-1,2),半徑。 ………………3分(圓心橫縱坐標(biāo)及半徑各1分)
(Ⅱ)∵切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零,
設(shè)直線方程 ………………4分
∵圓C:
∴圓心C(-1,2)到切線的距離等于圓半徑,
即: ………………6分
∴a=-1或a=3,
所求切線方程為:
(Ⅲ)∵切線PM與半徑CM垂直,設(shè)P(x,y)
∴|PM|2=|PC|2-|CM|2 ………………10分
∴ ………………11分
所以點(diǎn)P的軌跡方程為 ………………13分
18.(Ⅰ)證明:∵
……………………1分
……………………3分
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列。 ………………4分
(Ⅱ)解: ………………5分
由(Ⅰ)得 …………7分
∴ ………………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得 ………………9分
利用錯位相減法可得, ………………14分
19.解:(Ⅰ)由已知得 ………………2分
又
可得 ………………4分
又
即
(0,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,2)
+
0
-
0
+
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
所以為的極大值,為的極小值.……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)
…………9分
……12分
……13分
20.解:(Ⅰ)由題意知
則雙曲線方程為:……3分
(Ⅱ)設(shè)
設(shè)PQ方程為:代入雙曲線方程可得:
由于P、Q都在雙曲線的右支上,所以,
……4分
……5分
由于
由……6分
……7分
此時
……8分
(Ⅲ)存在實(shí)數(shù),滿足題設(shè)條件
……9分
把(3)(4)代入(2)得:……(5)
由(1)(5)得:……11分
,滿足題設(shè)條件. ………………13分
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