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如圖，一個等腰直角三角形的硬紙片△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，CD是斜邊上的高，沿CD把△ABC折成直二面角．
（1）如果你手中只有一把能夠量長度的直尺，應(yīng)該如何確定A、B的位置，使得二面角A-CD-B是直二面角？證明你的結(jié)論．
（2）試在平面ABC上確定一點(diǎn)P，使DP與平面ABC內(nèi)任意一條直線垂直，證明你的結(jié)論．
（3）如果在折成的三棱錐內(nèi)有一個小球，求出球的半徑的最大值．

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如圖，一個等腰直角三角形的硬紙片△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，CD是斜邊上的高，沿CD把△ABC折成直二面角．
（1）如果你手中只有一把能夠量長度的直尺，應(yīng)該如何確定A、B的位置，使得二面角A-CD-B是直二面角？證明你的結(jié)論．
（2）試在平面ABC上確定一點(diǎn)P，使DP與平面ABC內(nèi)任意一條直線垂直，證明你的結(jié)論．
（3）如果在折成的三棱錐內(nèi)有一個小球，求出球的半徑的最大值．

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1．D    2．B    3．C    4．B    5．A    6．B    7．B    8．D    9．C    10．C

l1．A   12．C

13．

14．15

15．

16．

提示：

1．D    ．

2．B    視力住0．9以上的頻率為，人數(shù)為．

3．C    ，且

        若，則且

        反之，若，則

4．B    ，由，得．

．

5．A    ．

6．B   

當(dāng)時，，由得；

當(dāng)時，；

    當(dāng)時，，由．

7．B    該幾何體是上面是正四棱錐，下面為正方體，體積為

．

8．D    ．

9．C    ，

，

，

，

．

10．C  

即，或．

1l．A   設(shè)．

則方程為．

過點(diǎn)

,

,

,

．

 12．C  畫出平面區(qū)域，

圓的圓心，半徑為l，

的最大值為的最小值為

．的最大值為，最小值為

13．．

    ，    ．

14．15  ；

    ；

    ．

15．

    ．

16．．

    又

17．解：（1），                          （2分）

．                            （4分）

        由余弦定理，得．                                （6分）

（2），                                 （7分）

      （9分）                               （10分）

                                         （11分）

                            （12分）

18．解：（1）的可能取值為l，2，3，4．

                                              （4分）

        ∴甲取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望． （6分）

（2）由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色

共有（種）不同情形，                            （8分）

每種情形都是等可能，記甲獲勝為事件A，則

                    （11分）

        所以甲獲勝的概率小于乙獲勝的概率，這個游戲規(guī)則不公平           （12分）

19．解：以為原點(diǎn)，、、所在的直線為

，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

                    （3分）

（1），

即直線與所成角的余角的余弦值為             （6分）

（2）設(shè)

        由平面得

即   得

，即為的中點(diǎn)．                                 （9分）

（3）由（2）知為平面的法向量．

        設(shè)為平面的法向量，

        由即

令得，

，

即二面角的余弦值為                （12分）

（非向量解法參照給分）

20．（1）解：成等比數(shù)列，，即

又，                                         （3分）

                             （5分）

（2）證明： ．                          （6分）

        是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，

                                         （7分）

        （當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．                                                 ①              （9分）

     當(dāng)且僅當(dāng)即時取“=”．                     ②            （11分）

        又①②中等號不可能同時取到，  （12分）

21．解：（1）設(shè)．

對稱軸方程．由題意恒成立，                        （2分）

在區(qū)間上單凋遞增，                                （3分）

        ∴當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點(diǎn)在橢圓的左、右頂點(diǎn)時取得最小值與最大值．（4分）

（安徽高中數(shù)學(xué)網(wǎng)站注：這里用橢圓第二定義根簡單直觀）

（2）由已知與（1）得：，

，                                  （5分）

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                 （6分）

（3）設(shè)，聯(lián)立

得．                             （7分）

則

又，（8分）

∵橢圓的右頂點(diǎn)為，

                                         （9分）

        解得：，且均滿足，           （10分）

        當(dāng)時，的方程為，直線過定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾．

當(dāng)時，的方程為，直線過定點(diǎn)（，0），       （11分）

∴直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．                              （12分）

22，解：（1）由題意：的定義域?yàn)?sub>，且．

，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)．          （2分）

（2）由（1）可知：

① 若，則，即在上恒成立，此時在上為增函數(shù)，

（舍去）．                       （4分）

② 若，則，即在上恒成立，此時在上為減函數(shù)，

（舍去）．                 （6分）

        ③ 若，令得，

        當(dāng)時，在上為減函數(shù)，

        當(dāng)時，在上為增函數(shù)，

                    （9分）

綜上可知：．                                           （10分）（3）．

        又                                         （11分）

        令，

        在上是減函數(shù)，，即，

        在上也是減函數(shù)，．

        令得，∴當(dāng)在恒成立時，．（14分）