如圖，F(xiàn)是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點，A、B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為

1

2

，點C在x軸上，BC⊥BF，由B、C、F三點確定的圓M恰好與直線x+

3

y+3=0相切．
（I）求橢圓的方程；
（II）過F作一條與兩坐標軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點，若在x軸上存在一點N（x₀，0），使得直線NP與直線NQ關(guān)于x軸對稱，求x₀的值．

如圖，F(xiàn)是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點，A，B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為

1

2

．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點確定的圓M恰好與直線l₁：x+

3

y+3=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）過點A的直線l₂與圓M交于PQ兩點，且

MP

•

MQ

=-2，求直線l₂的方程．

如圖，橢圓的中心在原點，F(xiàn)為橢圓的左焦點，B為橢圓的一個頂點，過點B作與FB垂直的直線BP交x軸于P點，且橢圓的長半軸長a和短半軸長b是關(guān)于x的方程3x2-3

3

cx+2c2=0（其中c為半焦距）的兩個根．
（I）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）經(jīng)過F、B、P三點的圓與直線x+

3

y-

3

=0相切，試求橢圓的方程．

如圖，A、B為半橢圓

y2

4

+x2=1(y≥0)的兩個頂點，F(xiàn)為上焦點，將半橢圓和線段AB合在一起稱為曲線C．
（1）求△ABF的外接圓圓心；
（2）過焦點F的直線L與曲線C交于P、Q兩點，若|PQ|=2，求所有滿足條件的直線L；
（3）對于一般的封閉曲線，曲線上任意兩點距離的最大值稱為該曲線的“直徑”．如圓的“直徑”就是通常的直徑，橢圓的“直徑”就是長軸的長．求該曲線C的“直徑”．