設(shè)f(x)=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）當(dāng)a=2時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；
（3）如果對任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

設(shè)f(x)=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3，
（I）當(dāng)a=2時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（II）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；
（III）當(dāng)a≥1時，證明對于任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立．

設(shè)f(x)=

1+ax

1-ax

a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)關(guān)于x的方程求loga

t

(x2-1)(7-x)

=g(x)在區(qū)間[2，6]上有實(shí)數(shù)解，求t的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，證明：

n

k=2

g(k)＞

2-n-n2

2n(n+1)

；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a≤

1

2

時，試比較|

n

k=1

f(k)-n|與4的大小，并說明理由．

記f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0，a≠1)，g（x）是f（x）的反函數(shù)．
（Ⅰ）若關(guān)于x的方程：loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在x∈[0，1）上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=e（e是自然對數(shù)的底數(shù)）時，記h(x)=g(x)-

x

2

(x≥0)，求函數(shù)h（x）的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)a＞1時，求證：

n

k=1

g(a-k)＜

lna

2(a-1)

（n∈N^*）．