已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切．

（I）求橢圓的方程；

（II）若過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)＜ 時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

第一問(wèn)中，利用

第二問(wèn)中，利用直線(xiàn)與橢圓聯(lián)系，可知得到一元二次方程中，可得k的范圍，然后利用向量的＜不等式，表示得到t的范圍。

解：（1）由題意知

 

在△ABC中，為三個(gè)內(nèi)角為三條邊，且

（I）判斷△ABC的形狀；

（II）若，求的取值范圍．

【解析】本題主要考查正余弦定理及向量運(yùn)算

第一問(wèn)利用正弦定理可知，邊化為角得到

所以得到B=2C，然后利用內(nèi)角和定理得到三角形的形狀。

第二問(wèn)中，

得到。

（1）解：由及正弦定理有：

∴B=2C，或B+2C，若B=2C，且，∴，；∴B+2C，則A=C，∴是等腰三角形。

（2）

 

若函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間，滿(mǎn)足在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141332182286905_ST.files/image002.png">，則稱(chēng)這樣的函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”.

（Ⅰ）判斷函數(shù)是否為“優(yōu)美函數(shù)”？若是，求出；若不是，說(shuō)明理由；

（Ⅱ）若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問(wèn)中，利用定義，判定由題意得，由，所以

第二問(wèn)中， 由題意得方程有兩實(shí)根

設(shè)所以關(guān)于m的方程在有兩實(shí)根，

即函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，從而得到t的范圍。

解（I）由題意得，由，所以     （6分）

（II）由題意得方程有兩實(shí)根

設(shè)所以關(guān)于m的方程在有兩實(shí)根，

即函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)。

 

給出問(wèn)題：已知滿(mǎn)足，試判定的形狀.某學(xué)生的解答如下：

解：（i）由余弦定理可得，

，

，

,

故是直角三角形.

（ii）設(shè)外接圓半徑為.由正弦定理可得，原式等價(jià)于

，

故是等腰三角形.

綜上可知，是等腰直角三角形.

請(qǐng)問(wèn)：該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)谙旅鏅M線(xiàn)中寫(xiě)出解題過(guò)程中主要用到的思想方法；若不正確，請(qǐng)?jiān)谙旅鏅M線(xiàn)中寫(xiě)出你認(rèn)為本題正確的結(jié)果.　　    　　　　　.

 

設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是拋物線(xiàn)上的個(gè)不同的點(diǎn)（）.

（1） 當(dāng)時(shí)，試寫(xiě)出拋物線(xiàn)上的三個(gè)定點(diǎn)、、的坐標(biāo)，從而使得

；

（2）當(dāng)時(shí)，若，

求證：；

（3） 當(dāng)時(shí)，某同學(xué)對(duì)（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開(kāi)展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開(kāi)展研究：

① 試構(gòu)造一個(gè)說(shuō)明該逆命題確實(shí)是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說(shuō)明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，并說(shuō)明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評(píng)分說(shuō)明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向，則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問(wèn)利用拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，設(shè)，

分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為.

由拋物線(xiàn)定義得到

第二問(wèn)設(shè)，分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足分別為.

由拋物線(xiàn)定義得

第三問(wèn)中①取時(shí)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，

設(shè)，分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足分別為.由拋物線(xiàn)定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，設(shè)，

分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為.由拋物線(xiàn)定義得

 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">，所以，

故可取滿(mǎn)足條件.

（2）設(shè)，分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足分別為.

由拋物線(xiàn)定義得

   又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">

；

所以.

（3） ①取時(shí)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，

設(shè)，分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn)，垂足分別為.由拋物線(xiàn)定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個(gè)當(dāng)時(shí)，該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)

② 設(shè)，分別過(guò)作

拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，

由及拋物線(xiàn)的定義得

，即.

因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無(wú)關(guān)，所以只要將這點(diǎn)都取在軸的上方，則它們的縱坐標(biāo)都大于零，則

，

而，所以.

（說(shuō)明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿(mǎn)足條件且的一組個(gè)不同的點(diǎn)，均為反例.）

③ 補(bǔ)充條件1：“點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）滿(mǎn)足 ”，即：

“當(dāng)時(shí)，若，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）滿(mǎn)足，則”.此命題為真.事實(shí)上，設(shè)，

分別過(guò)作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，由，

及拋物線(xiàn)的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補(bǔ)充條件2：“點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”，即：

“當(dāng)時(shí)，若，且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則”.此命題為真.（證略）