已知點(diǎn)P是拋物線y=

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x2+1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d₁，點(diǎn)P與點(diǎn)F（0，2）的距離為d₂，過(guò)點(diǎn)P的直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)．
（1）猜想d₁、d₂的關(guān)系并證明；
（2）如果線段PQ的長(zhǎng)度為5，求點(diǎn)M到x軸的最短距離．

已知：如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使得△ABM的面積與△ABD的面積相等的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)C在以D（-2，-2）為圓心，4為半徑的圓上，且經(jīng)過(guò)⊙D與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，連接AC、BC、OC．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求圖中陰影部分的面積；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使DP所在直線平分線段OC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知如圖，拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0），且經(jīng)過(guò)直線y=x-3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)B、C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在第四象限內(nèi)的拋物線上，且OM⊥BC，垂足為D，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，半圓的直徑AB在x軸上，圓心為D．半圓交y軸于點(diǎn)C，AC=2

5

，BC=4

5

．
（1）證明：△AOC∽△ACB；
（2）求以AO、BO兩線段長(zhǎng)為根的一元二次方程；
（3）求圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式；
（4）設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為E，連接EC，試判斷直線EC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．