如圖1，在中，，D,E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線(xiàn)段CD上的一點(diǎn)，將沿DE折起到的位置，使，如圖2.

（Ⅰ）求證：DE∥平面

（Ⅱ）求證：

（Ⅲ）線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)Q，使？說(shuō)明理由。

【解析】（1）∵DE∥BC，由線(xiàn)面平行的判定定理得出

（2）可以先證，得出，∵∴

∴

(3)Q為的中點(diǎn)，由上問(wèn)，易知,取中點(diǎn)P，連接DP和QP，不難證出，∴∴,又∵∴

 

已知．

（１）求的單調(diào)區(qū)間；

（２）證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；

（３）任取兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，若存在使成立，證明：．

【解析】（1）g(x)=lnx+，=        （1’）

當(dāng)k0時(shí)，>0，所以函數(shù)g(x)的增區(qū)間為（0，+），無(wú)減區(qū)間；

當(dāng)k>0時(shí)，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增區(qū)間（k,+）減區(qū)間為（0，k）（3’）

(2)設(shè)h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 當(dāng)x變化時(shí)，h(x),的變化情況如表

x	1	(1,e)	e	(e,+)
		－	0	+
h(x)	e－2	↘	0	↗

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    （5’）

設(shè)G(x)=lnx-(x1) ==0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),=0所以G(x) 為減函數(shù), 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,綜上,當(dāng)x1時(shí), 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴l(xiāng)nx0+1==∴l(xiāng)nx0=-1      ∴l(xiāng)nx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  設(shè)H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數(shù),并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=

∴l(xiāng)nx0 –lnx>0, ∴x0 >x

 

已知，（其中）

⑴求及；

⑵試比較與的大小，并說(shuō)明理由．

【解析】第一問(wèn)中取，則；                         …………1分

對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，得

取，則得到結(jié)論

第二問(wèn)中，要比較與的大小，即比較：與的大小，歸納猜想可得結(jié)論當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

猜想：當(dāng)時(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。

解：⑴取，則；                         …………1分

對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，得，

取，則。       …………4分

⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；                              …………6分

猜想：當(dāng)時(shí)，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

由上述過(guò)程可知，時(shí)結(jié)論成立，

假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，

當(dāng)時(shí),

而

∴

即時(shí)結(jié)論也成立，

∴當(dāng)時(shí)，成立。                          …………11分

綜上得，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)， 

 

某校從參加高三年級(jí)理科綜合物理考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段，…后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：

（Ⅰ）求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；

（Ⅱ）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)本次考試的

平均分；

（Ⅲ）若從名學(xué)生中隨機(jī)抽取人，抽到的學(xué)生成績(jī)?cè)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192139372351665897_ST.files/image007.png">記分，在記分，

在記分，用表示抽取結(jié)束后的總記分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解析】（1）中利用直方圖中面積和為1，可以求解得到分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為

（2）中結(jié)合平均值可以得到平均分為：

（3）中用表示抽取結(jié)束后的總記分x, 學(xué)生成績(jī)?cè)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192139372351665897_ST.files/image007.png">的有人，在的有人，在的有人,結(jié)合古典概型的概率公式求解得到。

(Ⅰ)設(shè)分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為，根據(jù)頻率分布直方圖，則有，可得，所以頻率分布直方圖如右圖.……4分

（求解頻率3分，畫(huà)圖1分）

（Ⅱ）平均分為：……7分

（Ⅲ）學(xué)生成績(jī)?cè)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192139372351665897_ST.files/image007.png">的有人，在的有人，

在的有人.并且的可能取值是.    ………8分

則；； ；

；.（每個(gè)1分）

所以的分布列為

	0	1	2	3	4

…………………13分

 

已知函數(shù)，，其中．

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對(duì)任意的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有≥成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】（1）根據(jù)建立關(guān)于a的方程求a即可.

（2）本題要分別求出f(x)在[1,e]上的最小值，g(x)在[1，e]上的最大值，然后

,解關(guān)于a的不等式即可.