(Ⅱ)橢圓上一動點關(guān)于直線的對稱點為,求的取值范圍． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖，已知橢圓E：的離心率是，P1、P2是橢圓E的長軸的兩個端點（P2位于P1右側(cè)），點F是橢圓E的右焦點．點Q是x軸上位于P2右側(cè)的一點，且滿足．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程以及點Q的坐標；
（Ⅱ） 過點Q的動直線l交橢圓E于A、B兩點，連結(jié)AF并延長交橢圓于點C，連結(jié)BF并延長交橢圓于點D．
①求證：B、C關(guān)于x軸對稱；
②當四邊形ABCD的面積取得最大值時，求直線l的方程．

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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞o)的左焦點為F（-
2
，0），離心率e=
2
2
，M、N是橢圓上的動點．
（Ⅰ）求橢圓標準方程；
（Ⅱ）設(shè)動點P滿足：
OP
=
OM
+2
ON
，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，問：是否存在定點F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值？，若存在，求出F1，F(xiàn)2的坐標，若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且點M，N關(guān)于原點對稱，點M在x軸上的射影為A，連接NA 并延長交橢圓于點B，證明：MN⊥MB．

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已知曲線上動點到定點與定直線的距離之比為常數(shù)．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若過點引曲線C的弦AB恰好被點平分，求弦AB所在的直線方程；

（3）以曲線的左頂點為圓心作圓：，設(shè)圓與曲線交于點與點，求的最小值，并求此時圓的方程.

【解析】第一問利用（1）過點作直線的垂線，垂足為D.

代入坐標得到

第二問當斜率k不存在時，檢驗得不符合要求；

當直線l的斜率為k時，；，化簡得

第三問點N與點M關(guān)于X軸對稱，設(shè)，， 不妨設(shè)．

由于點M在橢圓C上，所以．

由已知，則

，

由于，故當時，取得最小值為．

計算得，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．  

故圓T的方程為：

 

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（本小題滿分12分）
如圖，點是橢圓上一動點，點是點在軸上的射影，坐標平面內(nèi)動點滿足：（為坐標原點），設(shè)動點的軌跡為曲線．

（Ⅰ）求曲線的方程并畫出草圖；
（Ⅱ）過右焦點的直線交曲線于，兩點，且，點關(guān)于軸的對稱點為，求直線的方程．

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（本小題滿分12分）
如圖，點是橢圓上一動點，點是點在軸上的射影，坐標平面內(nèi)動點滿足：（為坐標原點），設(shè)動點的軌跡為曲線．

（Ⅰ）求曲線的方程并畫出草圖；
（Ⅱ）過右焦點的直線交曲線于，兩點，且，點關(guān)于軸的對稱點為，求直線的方程．

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一、選擇題

AACCD   BBDDD   AC

二、填空題

13．    14．T13    15．①⑤    16．

三、解答題

17．解：（Ⅰ）因為，

由正弦定理，得，              ……3分

整理，得

因為、、是的三內(nèi)角，所以，    

因此  ．                                                 ……6分

   （Ⅱ），即，                ……8分

由余弦定理，得，所以，      ……10分

解方程組，得 ．                       ……12分

18．（本題滿分12分）

解法一：記與的比賽為，

  （Ⅰ）齊王與田忌賽馬，有如下六種情況：

，,

, ,

, ．　　………………………３分

　　其中田忌獲勝的只有一種，所以田忌獲勝的概率為．

　　　…………………………………………………………………………………………６分

（Ⅱ）已知齊王第一場必出上等馬，若田忌第一場出上等馬或中等馬，則剩下兩場中至少輸?shù)粢粓�，這時田忌必�。�

為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場應(yīng)出下等馬，后兩場有兩種情形：

①若齊王第二場派出中等馬，可能對陣情形是、

或者、，所以田忌獲勝的概率為；　………………………９分

②若齊王第二場派出下等馬，可能對陣情形是、

或者、，所以田忌獲勝的概率為，

所以田忌按或者的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達到最大值．

　　　………………………………………………………………………………………１２分

解法二：各種對陣情況列成下列表格：

 

 

1

2

3

4

5

6

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………３分

（Ⅰ）其中田忌獲勝的只有第五種這一種情形，所以田忌獲勝的概率為．……６分

（Ⅱ）為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場應(yīng)出下等馬，即只能是第五、第六兩種情形．　　…………………………………………………９分

其中田忌獲勝的只有第五種這一種情形，所以田忌按或者的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達到最大值．………………………１２分

19．（本題滿分12分）

解證: （Ⅰ） 連結(jié)連結(jié)，

∵四邊形是矩形 

∴為中點

又為中點,從而∥ ------------3分

∵平面,平面

∴∥平面。-----------------------5分

（Ⅱ）（方法1）

三角形的面積-------------------8分

到平面的距離為的高 

∴---------------------------------11分

因此，三棱錐的體積為。------------------------------------12分

（方法2）

，

，

∴為等腰，取底邊的中點，

則，

∴的面積　-----------8分

∵，∴點到平面的距離等于到平面

的距離，

由于，，

∴ ，

過作于，則就是到平面的距離，

又，----------11分

---------------------12分

（方法３）

到平面的距離為的高 

∴四棱錐的體積------------------------9分

三棱錐的體積

  ∴---------------------------------------------11分

       因此，三棱錐的體積為。-------------------------------------12分

20．（Ⅰ）依題意知,                                                     

∵,

∴．                                        

∴所求橢圓的方程為．                     ……4分              

（Ⅱ）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，

∴                            ……6分                 

解得：，．                 ……8分               

∴．                                ……10分           

∵ 點在橢圓:上,

∴, 則．

∴的取值范圍為．                      ……12分

21．解：（Ⅰ）由知，定義域為，

．     ……………………3分

當時，,                    ………………4分

當時， ．                            ………………5分

所以的單調(diào)增區(qū)間是,

的單調(diào)減區(qū)間是．           …………………… ………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當或時，

, 所以的極大值為，

極小值為． 　　………………………8分

又因為,　

,  ………１０分

所以在的三個單調(diào)區(qū)間上，

直線與的圖象各有一個交點，

當且僅當, 因此，

的取值范圍為．   ………………12分

22．解：（Ⅰ）當時，　　……………………………3分

       ∴=

      =

      =

      =　　…………………………………7分

       （Ⅱ）  

  +

+

=

=　……………13分

當且僅當，即時，最�。�14分

 


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