(2002•荊門(mén))閱讀下列范例,按要求解答問(wèn)題.
例:已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+2c=1,a
2+b
2+6c+
=0,求a、b、c的值.
解法1:由已知得a+b=1-2c,①(a+b)
2-2ab+6c+
=0.②
將①代入②,整理得4c
2+2c-2ab+
=0.∴ab=2c
2+c+
③
由①、③可知,a、b是關(guān)于t的方程t
2-(1-2c)t+2c
2+c+
=0④的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
∴△=(1-2c)
2-4(2c
2+c+
≥0,即(c+1)
2≤0.而(c+1)
2≥0,∴c+l=0,c=-1,
將c=-1代入④,得t
2-3t+
=0.∴t
1=t
2=
,即a=b=
.∴a=b,c=-1.
解法2∵a+b+2c=1,∴a+b=1-2c、設(shè)a=
+t,b=
-t.①
∵a
2+b
2+6c+
=0,∴(a+b)
2-2ab+6c+
=0.②
將①代入②,得(1-2c)
2-2
+6c+
=0.
整理,得t
2+(c
2+2c+1)=0,即t
2+(c+1)
2=0.∴t=0,c=-1.
將t、c的值同時(shí)代入①,得a=
,b=
.a(chǎn)=b=
,c=-1.
以上解法1是構(gòu)造一元二次方程解決問(wèn)題.若兩實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=m,xy=n,則x、y是關(guān)于t的一元二次方程t
2-mt+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,然后利用判別式求解.
以上解法2是采用均值換元解決問(wèn)題.若實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=m,則可設(shè)x=
+t,y=
-t.一些問(wèn)題根據(jù)條件,若合理運(yùn)用這種換元技巧,則能使問(wèn)題順利解決.
下面給出兩個(gè)問(wèn)題,解答其中任意一題:
(1)用另一種方法解答范例中的問(wèn)題.
(2)選用范例中的一種方法解答下列問(wèn)題:
已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=6,a
2+b
2+c
2=12,求證:a=b=c.