Question

有串自然數(shù)，已知第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)互質(zhì)，而且第一個(gè)數(shù)的

5

6

恰好是第二個(gè)數(shù)的

1

4

，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字正好是前兩個(gè)數(shù)的和，問(wèn)這串?dāng)?shù)的第1991個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)是幾？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)榈谝粋�(gè)數(shù)×

5

6

=第二個(gè)數(shù)×

1

4

，所以第一個(gè)數(shù)：第二個(gè)數(shù)=

1

4

：

5

6

=3：10．又兩數(shù)互質(zhì)，所以第一個(gè)數(shù)為3，第二個(gè)數(shù)為10，從而這串?dāng)?shù)為：
3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…
（2）要求這串?dāng)?shù)的第1991個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)是幾，可以先推理出得出這串?dāng)?shù)字除以3的余數(shù)的規(guī)律是什么；由此即可解決問(wèn)題．

解答：解：根據(jù)題干分析可得這串?dāng)?shù)字為：
3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…
這串?dāng)?shù)字被3除所得的余數(shù)依次為：
0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，
所以可以看出這串?dāng)?shù)字除以3的余數(shù)按“0，1，1，2，0，2，2，1”循環(huán)，周期為8．
因?yàn)?991÷8=248…7，所以第1991個(gè)數(shù)被3除所得余數(shù)應(yīng)是第249周期中的第7個(gè)數(shù)，即2．
答：這串?dāng)?shù)的第1991個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)是2．

點(diǎn)評(píng)：解答此題應(yīng)注意以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）由于兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，所以這兩個(gè)數(shù)只能是最簡(jiǎn)整數(shù)比的兩個(gè)數(shù)；
（2）求出這串?dāng)?shù)被3除所得的余數(shù)后，找出余數(shù)變化的周期，但這并不是這串?dāng)?shù)的周期．一般來(lái)說(shuō)，一些有規(guī)律的數(shù)串，被某一個(gè)整數(shù)逐個(gè)去除，所得的余數(shù)也具有周期性．