Question

8．已知$\frac{1}{7}$=0.$\stackrel{•}{1}$4285$\stackrel{•}{7}$，那么$\frac{1}{7}$化為小數(shù)后，
（1）小數(shù)點(diǎn)后第100個(gè)數(shù)字是多少？
（2）小數(shù)點(diǎn)后前100個(gè)數(shù)字之和是多少？

Answer 1

分析 （1）$\frac{1}{7}$=0.$\stackrel{•}{1}$4285$\stackrel{•}{7}$，循環(huán)節(jié)是142857，因?yàn)?00÷6=16…4，所以循環(huán)節(jié)的第四個(gè)數(shù)是第100個(gè)數(shù)字，即8．
（2）小數(shù)點(diǎn)后100個(gè)數(shù)字的和，即16個(gè)循環(huán)節(jié)的和，加上循環(huán)節(jié)的前四個(gè)數(shù)的和，即16×（1+4+2+8+5+7）+（1+4+2+8），計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）$\frac{1}{7}$=0.$\stackrel{•}{1}$4285$\stackrel{•}{7}$，是個(gè)循環(huán)小數(shù)，每6個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)，循環(huán)的順序是1、4、2、8、5、7．
100÷6=16（個(gè)）…4（個(gè)）．
因余4個(gè)數(shù)，循環(huán)的順序是1、4、2、8、5、7，所以小數(shù)點(diǎn)后第100個(gè)數(shù)字是8．
答：小數(shù)點(diǎn)后第100個(gè)數(shù)字是8．

（2）小數(shù)點(diǎn)后前100個(gè)數(shù)字是1、4、2、8、5、7循環(huán)16次，后面是1、4、2、8；
所以，前100個(gè)數(shù)字之和是：
16×（1+4+2+8+5+7）+（1+4+2+8）
=16×27+15
=432+15
=447；
答：小數(shù)點(diǎn)后前100個(gè)數(shù)字之和是447．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是找出循環(huán)的規(guī)律，再根據(jù)余數(shù)的位數(shù)進(jìn)行解答．