Question

一個(gè)五位回文數(shù)，它是7的倍數(shù)；如果將它的十位和個(gè)位互換，新得的五位數(shù)是11的倍數(shù)；如果將它的十位和百位互換，新得的五位數(shù)是13的倍數(shù)．那么，原五位數(shù)為

92029

．

Answer 1

分析：據(jù)題可設(shè)這個(gè)回文數(shù)為abcba，則abcba能被7整除，abcab能被11整除，abbca能被13整除；根據(jù)能被7、13、11整除的特征可知：（cab-ab）能被7整除，（cba-ab）能被11整除，（bca-ab）能被13整除．通過(guò)觀察可知，c=0．則（ba-ab）除以7=9（b-a），（b0a-ab）除以13=9（11b-a）．所以，b-a=13，11b-a=13．如果b-a=0，則13=90b，這不可能，剩下只可能ab=18，29，70，81，92之一，經(jīng)檢驗(yàn)只有92符合13|（11b-a），所以原五位數(shù)為92029．

解答：解：設(shè)原數(shù)為

.

abcba

，則有7|

.

abcba

，11|

.

abcab

，13|

.

abbca

．
也就是7|

.

cba

-

.

ab

，11|

.

cab

-

.

ab

，13|

.

bca

-

.

ab

．
觀察得c=0，7|

.

ba

-

.

ab

=9(b-a)，13|

.

b0a

-

.

ab

=9(11b-a)．所以，（b-a） 被7整除，（11b-a）能被13整 除．
如果b-a=0，則13|90b，這不可能．
剩下只可能

.

ab

=18，29，70，81，92之一，經(jīng)檢驗(yàn)只有92符合13|（11b-a），所以原五位數(shù)為92029．
故答案為：92029．

點(diǎn)評(píng)：能被7、13、11整除數(shù)的特征（實(shí)際是一個(gè)方法）是這樣的：將一個(gè)多于4位的整數(shù)在百位與千位之間分為兩截，形成兩個(gè)數(shù)，左邊的數(shù)原來(lái)的千位、萬(wàn)位成為個(gè)位、十位（依次類推）． 將這兩個(gè)新數(shù)相減（較大的數(shù)減較小的數(shù)），所得的差不改變?cè)瓉?lái)數(shù)能被7、11、13整除的特性．