Question

如圖，平面內(nèi)有A，B，C，D，E五個點，將其中每兩個點都用帶有顏色的線段連接起來，且滿足有任意有公共端點的線段不同色．
（1）用四種顏色的線段連接各點，能否滿足題目的要求，說明理由．
（2）至少需要幾種顏色的線段，能滿足題目的要求，舉一例說明即可（舉例時用編號代替顏色）．

Answer 1

分析：（1）、（2）這兩個問題的解答思路實際上是完全相同的，否定了第一個問題即可推導出第二個問題的結果；所以根據(jù)題意，可以用抽屜原理來解答，先建立抽屜，然后向抽屜里放東西（線段），再假設確定一種顏色，用這種顏色去判斷證明，然后同理證明其它顏色的線段即可．

解答：解：平面內(nèi)A，B，C，D，E五個點的連線有：5×4÷2=10（條）；
（1）可以這樣證明，五個點共有十條線段，假如我們用四個顏色的抽屜來裝，那么肯定有的抽屜內(nèi)會有（10÷4=2…3）三條線（即這三條線段的顏色相同），而五個點要避免同點的線不同色，我們先把1、2用紅色的相連，再把3、4點用紅色相連，而5點不論再與那個點用紅色相連，勢必會造成違反規(guī)定（有公共端點的線段不同色），因此4種顏色不行，如圖（1）所示．同理可證，5種顏色可以完成要求．

 （2）由解答（1）可得：至少需要5種顏色的線段，能滿足題目的要求，下面我們來證明：假如我們用五個顏色的抽屜來裝，那么肯定每個抽屜內(nèi)會有（10÷5）2條線（即這2條線段的顏色相同），正好把十條線段平均分開且沒有剩余，我們先把1、2用紅色的相連，再把3、4點用紅色相連，這樣剛好把2條紅色線段放完；同理，其它抽屜里的同色的兩條線段也可放完而不違反規(guī)定（有公共端點的線段不同色），如圖（2）所示；因此至少需要5種顏色的線段能滿足題目的要求．

答：至少需要5種顏色的線段，能滿足題目的要求．

點評：本題雖然是染色問題，但是需要用抽屜原理來解答，關鍵是根據(jù)題意怎么先建立抽屜，建立幾個抽屜，這些問題解決了，解答本題就容易了．