Question

一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是1，最大的數(shù)是25，除1之外，這組數(shù)中的任一個(gè)數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個(gè)數(shù)的2倍，或者等于這組數(shù)中某兩個(gè)數(shù)之和，問(wèn)：這組數(shù)之和最大值是多少？當(dāng)這組數(shù)之和有最小值時(shí)，這組數(shù)都有哪些數(shù)？并說(shuō)明和是最小值的理由．

Answer 1

分析：首先25是組中兩個(gè)數(shù)a、b的和，不妨設(shè)a＞b，而除去1外，組中最小的數(shù)必定是2（否則這最小的數(shù)不是兩個(gè)數(shù)的和，也不是1的兩倍）．第三個(gè)小的數(shù)是3或4，在前一種情況，第四個(gè)小的數(shù)可能是4、5、6；在后一種情況，第四個(gè)小的數(shù)可能是5、6、8；如果b＞8，那么除去1，2，3，4…b…a…25及1，2，3，5…b…a…25；另外，其它情況各數(shù)的和均大于61，而由于b＞8，前一種情況，至少要增加一個(gè)大于4的數(shù)，各數(shù)的和仍大于61，后一種情況，各數(shù)的和同樣會(huì)大于61，除非b=10，相應(yīng)地a=15，即上面所列舉的數(shù)為61的情況；如果b≤8，那么a≥17，為了將a表示成兩個(gè)數(shù)的和或一個(gè)數(shù)的兩倍，至少要有一個(gè)≥9的數(shù)，這樣各數(shù)的和≥1+2+3+b+9+a+25=65＞61，因此只有數(shù)組1，2，3，5，10，15，25使和取得最小值61．
下面討論和的最大值，如上所述，除去1外，組中最小的數(shù)必定是2，第三個(gè)小的數(shù)是3或4，在前一種情況，第四個(gè)小的數(shù)可能是4、5、6；在后一種情況，第四個(gè)小的數(shù)可能是5、6、8．要使和最大，次大的數(shù)可取24，從而數(shù)組1，2，4，8，16，24，25的和是80，應(yīng)為和的最大值．

解答：解：（1）首先25是組中兩個(gè)數(shù)a、b的和，不妨設(shè)a＞b，而除去1外，組中最小的數(shù)必定是2（否則這最小的數(shù)不是兩個(gè)數(shù)的和，也不是1的兩倍）．第三個(gè)小的數(shù)是3或4，在前一種情況，第四個(gè)小的數(shù)可能是4、5、6；在后一種情況，第四個(gè)小的數(shù)可能是5、6、8；如果b＞8，那么除去1，2，3，4…b…a…25及1，2，3，5…b…a…25；另外，其它情況各數(shù)的和均大于61，而由于b＞8，前一種情況，至少要增加一個(gè)大于4的數(shù)，各數(shù)的和仍大于61，后一種情況，各數(shù)的和同樣會(huì)大于61，除非b=10，相應(yīng)地a=15，即上面所列舉的數(shù)為61的情況；如果b≤8，那么a≥17，為了將a表示成兩個(gè)數(shù)的和或一個(gè)數(shù)的兩倍，至少要有一個(gè)≥9的數(shù)，這樣各數(shù)的和≥1+2+3+b+9+a+25=65＞61，因此只有數(shù)組1，2，3，5，10，15，25使和取得最小值61．
（2）如上所述，除去1外，組中最小的數(shù)必定是2，第三個(gè)小的數(shù)是3或4，在前一種情況，第四個(gè)小的數(shù)可能是4、5、6；在后一種情況，第四個(gè)小的數(shù)可能是5、6、8．要使和最大，次大的數(shù)可取24，從而數(shù)組1，2，4，8，16，24，25的和是80，應(yīng)為和的最大值．
答：這組數(shù)之和最大值是80，當(dāng)這組數(shù)之和有最小值時(shí)，這組數(shù)有1，2，3，5，10，15，25．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意先確定最小的數(shù)為2，再分情況討論，注意不要遺漏．