Question

有甲、乙、丙、丁四個(gè)人，各對(duì)某個(gè)兩位整數(shù)的性質(zhì)用兩句話表述：
甲：“用2除余1”，“用3除余2”．
乙：“用4除余3”，“用5除余4”．
丙：“用6除余5”，“用7除余6”．
丁：“用8除余7”，“用9除余8”．
已知四人中每個(gè)人都只說(shuō)對(duì)了一句話，而另一句話是錯(cuò)的．請(qǐng)問(wèn)這個(gè)兩位整數(shù)是幾？

Answer 1

分析：通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)四個(gè)人的第一句話中除數(shù)都是偶數(shù)，余數(shù)都是奇數(shù)；而第二句話中除數(shù)都是奇數(shù)余數(shù)都是偶數(shù)．解答此題時(shí)要分析除數(shù)與余數(shù)的特點(diǎn)，利用我們所學(xué)的整除知識(shí)，先假設(shè)再排除，通過(guò)否定與肯定的層層深入推出正確的結(jié)論．

解答：解：將甲的第一句話用甲-①，第二句話用甲-②表示．
（1）先假設(shè)甲-①是錯(cuò)的．
如果甲-①是錯(cuò)的，乙-①所說(shuō)的整數(shù)用4除余3，如果用2除會(huì)怎樣呢？
用4除余3的整數(shù)，也可以說(shuō)成是4的倍數(shù)加上余數(shù)3 的整數(shù)．4是2的倍數(shù)，那么能被4整除的數(shù)也一定能被2整除，余數(shù)是3，3被2除余1．
因此甲-①，乙-①所說(shuō)的內(nèi)容相同，既他們說(shuō)的都是錯(cuò)的．用同樣的思考方法可以說(shuō)明丙-①和丁-①也都是錯(cuò)的．這時(shí)可以肯定甲-②、
乙-②、丙-②、丁-②、是正確的．
從各句話的除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系來(lái)看，所有話中的余數(shù)都是除數(shù)減1，因此滿足甲-②、乙-②、丙-②、丁-②條件的整數(shù)應(yīng)該是3、5、7、9的公倍數(shù)減1的整數(shù)，而這樣的整數(shù)最小的是314，不符合題目要求．
（2）假設(shè)甲-②是錯(cuò)誤的，根據(jù)（1）的思路可知，丙-①、丁-②也是錯(cuò)誤的，
因?yàn)槎?②是錯(cuò)的，則丁-①是正確的，
即甲-①，乙-①，丙-②，丁-①都是正確的，
則符合條件的是2、4、7、8的公倍數(shù)減1的整數(shù)，
經(jīng)驗(yàn)證，這個(gè)數(shù)是56-1=55．
所以這個(gè)兩位整數(shù)是55．

點(diǎn)評(píng)：在邏輯推理問(wèn)題中，兩件相互矛盾對(duì)立的事情，如果其中一件是錯(cuò)的，則另一件一定是對(duì)的．