Question

在新年聯(lián)歡會上，某班組織了一場飛鏢比賽．如圖，飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對應17分、11分和4分．每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應的分數(shù)．試問：如果比賽規(guī)定恰好投中100分才能獲獎，要想獲獎至少需要投中幾個飛鏢？如果規(guī)定恰好投中120分才能獲獎，要想獲獎至少需要投中幾個飛鏢？

Answer 1

考點：不定方程的分析求解

專題：傳統(tǒng)應用題專題

分析：要想獲獎至少需要投中的次數(shù)必須盡量投中17分和11分，然后利用整數(shù)的裂項與拆分，把100和120分兩種情況討論解答即可．

解答： 解：（1）100÷17=5…15，
所以，100=5×17+11+4，
可得：投中17分的5次，投中11分的1次，投中4分的1次；
要想獲獎至少需要投中：5+1+1=7（次）；
所以，100=4×17+11×2+4×2+2沒有能組成2分的區(qū)域，
所以，100=3×17+11×3+4×4，
可得：投中17分的3次，投中11分的3次，投中4分的4次，
要想獲獎至少需要投中：3+4+3=10（次）；
繼續(xù)拆分：100=17×2+11×6，
可得：投中17分的2次，投中11分的6次，
要想獲獎至少需要投中：6+2=8（次）；
綜合上述，至少需要7次．
答：要想獲獎至少需要投中7個飛鏢．

（2）120÷17=7…1，
所以，120=7×17+1，沒有1分的區(qū)域，
所以，120=6×17+17+1=6×17+18，沒有能組成18分的區(qū)域，
所以，120=5×17+17×2+1=5×17+35=5×17+4×6+11，
可得：投中17分的5次，投中11分的1次，投中4分的6次，
要想獲獎至少需要投中：5+1+6=12（次）；
繼續(xù)拆分：120=17×4+11×4+4×2，
可得：投中17分的4次，投中11分的4次，投中4分的2次，
要想獲獎至少需要投中：4+4+2=10（次）；

120÷11=10…10，
所以，120=10×11+10，沒有能組成10分的區(qū)域，
120=10×11+10=9×11+11+10=9×11+21=9×11+17+4；
可得：投中11分的9次，投中17分的1次，投中4分的1次，
要想獲獎至少需要投中：9+1+1=11（次）；
答：要想獲獎至少需要投中10個飛鏢．

點評：本題屬于數(shù)字問題中的整數(shù)的裂項與拆分，就是通過拆分把100和120盡量用較大的數(shù)表示出來，把余數(shù)用較小的數(shù)表示，通過不斷的調整得出符合要求的結論．