Question

100個杯子杯口朝上排成一行，順次從1到100編號，有100位學(xué)生，第一位學(xué)生把編號能被1整除的杯子翻一下，第二位學(xué)生把編號能被2整除的杯子翻一下，第三位學(xué)生把編號能被3整除的杯子翻一下，…，第100位學(xué)生把編號能被100整除的杯子翻一下，那么最終有

90

個杯子杯口朝上．

Answer 1

分析：這道題其實是求一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)，由于一個完全平方數(shù)數(shù)的個數(shù)永遠(yuǎn)都是奇數(shù)，那么其被翻動的次數(shù)就是奇數(shù)次，這一類數(shù)有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10個，所以這些編號的杯子，都被翻動了奇數(shù)次，所以這些編號杯口都是朝下的，而除了以上10個數(shù)以外，都是非完全平方數(shù)，約數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)，因此最后杯口都是朝上的，即最終杯口朝上的杯子有100-10=90個．

解答：解：杯口原來全部向上，
則翻動奇數(shù)次時，杯中向下，偶數(shù)次時杯口向上；
由于完全平方數(shù)約數(shù)的個數(shù)永遠(yuǎn)都是奇數(shù)，
所以編號為、4、9、16、25、36、49、64、81、100的這10個杯子都被翻動了奇數(shù)次，
即這些編號杯口都是朝下的．
除了以上10個數(shù)以外，都是非完全平方數(shù)，約數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)，即被翻動了偶數(shù)次，
因此最后杯口都是朝上的，即最終杯口朝上的杯子有100-10=90（個）．
故答案為：90．

點評：了解數(shù)的約數(shù)的奇偶性是完成本題的關(guān)鍵．