Question

12．我們把滿足：${x_{n+1}}={x_n}-\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$的數(shù)列{x_n}叫做牛頓數(shù)列．已知函數(shù)f（x）=x²-1，數(shù)列{x_n}為牛頓數(shù)列，設(shè)${a_n}=ln\frac{{{x_n}-1}}{{{x_n}+1}}$，已知a₁=2，則a₃=8．

Answer 1

分析 依題意，可求得${a}_{n+1}=ln\frac{{x}_{n+1}-1}{{x}_{n+1}+1}$=ln$\frac{\frac{1}{2}{（x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}}）-1}{\frac{1}{2}{（x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}}）+1}$=ln$\frac{{{（x}_{n}-1）}^{2}}{{{（x}_{n}+1）}^{2}}$=2$ln\frac{{x}_{n}-1}{{x}_{n}+1}$=2a_n，即數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列，又a₁=2，利用等比數(shù)列的通項公式即可求得答案．

解答 解：∵f（x）=x²-1，數(shù)列{x_n}為牛頓數(shù)列，
∴${x_{n+1}}={x_n}-\frac{{f（{x_n}）}}{{f'（{x_n}）}}$=x_n-$\frac{{{x}_{n}}^{2}-1}{{2x}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（x_n+$\frac{1}{{x}_{n}}$），
∴${a}_{n+1}=ln\frac{{x}_{n+1}-1}{{x}_{n+1}+1}$=ln$\frac{\frac{1}{2}{（x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}}）-1}{\frac{1}{2}{（x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}}）+1}$=ln$\frac{{{（x}_{n}-1）}^{2}}{{{（x}_{n}+1）}^{2}}$=2$ln\frac{{x}_{n}-1}{{x}_{n}+1}$=2a_n，
又a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a₃=2×2²=8．
故答案為：8．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，求得數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列是關(guān)鍵，也是難點，考查推理與運算能力，屬于難題．