【題目】(4分)請找出所有的三位數(shù),使它除以7、11、13的余數(shù)之和盡可能大.

【答案】三位數(shù)285、636除以7、11、13的余數(shù)之和最大.

【解析】

試題分析:根據(jù)題意,要使余數(shù)之和最大,三個(gè)余數(shù)只能分別為 6、10、12,那么這個(gè)三位數(shù)加上1就能同時(shí)被7、11、13整除,所以所求的三位數(shù)為7、11、13的公倍數(shù)減去1,則它最小是:7×11×13﹣1=1000,它是一個(gè)四位數(shù),不符合題意,因此,余數(shù)之和最大時(shí),三個(gè)余數(shù)分別為 5、10、12 或6、9、12或6、10、11;然后分類討論,求出滿足題意的三位數(shù)即可.

解:根據(jù)題意,要使余數(shù)之和最大,三個(gè)余數(shù)只能分別為 6、10、12,

那么這個(gè)三位數(shù)加上1就能同時(shí)被7、11、13整除,

所以所求的三位數(shù)為7、11、13的公倍數(shù)減去1,

則它最小是:7×11×13﹣1=1000,它是一個(gè)四位數(shù),不符合題意,

因此,余數(shù)之和最大時(shí),三個(gè)余數(shù)分別為 5、10、12 或6、9、12或6、10、11;

(1)當(dāng)三個(gè)余數(shù)分別為5、10、12時(shí),則這個(gè)數(shù)加1后能被11、13整除,且它被7除后余5,

所以所求的三位數(shù)為:11×13k﹣1,它被7除的余數(shù)為:3k﹣1=5,解得k=2,

所以這個(gè)三位數(shù)是:11×13×2﹣1=285;

(2)當(dāng)三個(gè)余數(shù)分別為6、9、12時(shí),則這個(gè)數(shù)加1后能被7、13 整除,且它被11除后余9,

所以所求的三位數(shù)為:7×13k﹣1,它被11除的余數(shù)為3k﹣1=9+11,解得k=7,

所以這個(gè)三位數(shù)是:7×13×7﹣1=636;

(3)當(dāng)三個(gè)余數(shù)分別為6、10、11,則這個(gè)數(shù)加1后能被 7、11整除,且它被13除后余11,

所以所求的三位數(shù)為:7×11k﹣1,它被13除的余數(shù)為:12k﹣1=11,解得k=1,

所以這個(gè)數(shù)是:7×11﹣1=76,它是一個(gè)兩位數(shù),不符合題意;

綜上,三位數(shù)285、636除以7、11、13的余數(shù)之和最大.

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