Question

（2012?天津模擬）要把1米長(zhǎng)的優(yōu)質(zhì)銅管鋸成長(zhǎng)38毫米和長(zhǎng)90毫米兩種規(guī)格的小銅管，每鋸一次都要損耗1毫米銅管．那么，只有當(dāng)鋸得的38毫米的銅管為

7

段、90毫米的銅管為

8

段時(shí)，所損耗的銅管才能最少．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知，同樣長(zhǎng)度的銅管鋸的次數(shù)越少則損耗的就越少，要想分割的次數(shù)越少就要使每一段的長(zhǎng)度最大．本題中就是要讓90毫米的銅管達(dá)到最多，而讓38毫米的銅管最少．因?yàn)殇徱淮我獡p耗1毫米銅管，我們?cè)O(shè)38毫米、90毫米的銅管分別鋸X段、Y段，那么，根據(jù)題意，有：38X+90Y=1000-（X+Y-1）×1．要使損耗最少，就應(yīng)盡可能多鋸90毫米長(zhǎng)的銅管，也就是說(shuō)上面式中的X應(yīng)盡可能小，Y盡可能大．將X的值按由小到大順序，用試代法代入，解這個(gè)不定方程就不難得到答案了．

解答：解：設(shè)38毫米、90毫米的銅管分別鋸X段、Y段，那么，根據(jù)題意，有
     38X+90Y=1000-（X+Y-1）×1
     即39X+91Y=1001
要使損耗最少，就應(yīng)盡可能多鋸90毫米長(zhǎng)的銅管，也就是說(shuō)上面式中的X應(yīng)盡可能小，Y盡可能大．
將X的值按由小到大順序，用試代法代入，解這個(gè)不定方程得：
當(dāng)X=1時(shí)，Y=10.57； 當(dāng)X=2時(shí)，Y=10.14； 當(dāng)X=3時(shí)，Y=9.71；
當(dāng)X=4時(shí)，Y=9.28；  當(dāng)X=5時(shí)，Y=8.86；  當(dāng)X=6時(shí)，Y=8.43；
當(dāng)X=7時(shí)，Y=8；…當(dāng)X=14時(shí)，Y=5；…
因?yàn)楦鶕?jù)題意X、Y都必須是自然數(shù)，
所以，X=7，Y=8．才是符合題意的解．
此時(shí)損耗的銅管長(zhǎng)度是：（7+8-1）×1=14（毫米）．
而當(dāng)X=14，Y=5時(shí)，損耗的銅管長(zhǎng)度是：（14+5-1）×1=18（毫米）
因?yàn)?4＜18．所以X=14，Y=5不是符合題意的解．
所以只有當(dāng)38毫米的銅管鋸7段，90毫米的銅管鋸8段時(shí)，損耗最少．
答：只有當(dāng)鋸得的38毫米的銅管鋸為7段、90毫米的銅管為8段時(shí)，所損耗的銅管才能最少．
故填7，8．

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)解不定方程，求最小值（或最大值）的應(yīng)用題，解題時(shí)要分清題目要求的是什么最��；什么最大．本題中我們要損耗最小，就要每段的長(zhǎng)度最大，鋸銅管的次數(shù)最少．