Question

自然數(shù)360可以分解為兩個(gè)自然數(shù)x、y的乘積，其中x有m個(gè)因數(shù)，y有n個(gè)因數(shù)，已知m+n=13且m＞n．那么，m與n的差是

5

．

Answer 1

分析：本題可先將360分解因數(shù)后，根據(jù)其因數(shù)的情況進(jìn)行分析：
由于360=2×2×2×3×3×5=2³×3²×5．由于m、n都是正整數(shù)，且m+n=13，可見m、n中必有一個(gè)是偶數(shù)，而另一個(gè)是奇數(shù)，又具有奇數(shù)個(gè)因數(shù)的數(shù)必是完全平方數(shù)，因此x、y中必有一個(gè)是完全平方數(shù)．據(jù)此分析驗(yàn)證即可．

解答：解：360=2×2×2×3×3×5=2³×3²×5．
由于m、n都是正整數(shù)，且m+n=13，
可見m、n中必有一個(gè)是偶數(shù)，而另一個(gè)是奇數(shù)，又具有奇數(shù)個(gè)因數(shù)的數(shù)必是完全平方數(shù)，
因此x、y中必有一個(gè)是完全平方數(shù)．
360的因數(shù)中，是完全平方數(shù)的因數(shù)只有：2²、3²、2²×3²．
（1）2²只有3個(gè)因數(shù)，故y=2×2=4，x=2×3²×5=90，
易知n=3，m=（1+1）×（2+1）×（1+1）=12，3+12=15，不合題意；
（2）3²也只有3個(gè)因數(shù)，故y=3²=9，x=2³×5=40，
易知n=3，m=（3+1）×（1+1）=8，3+8=11，不合題意
（3）2²×3²有（2+1）×（2+1）=9個(gè)因數(shù)，故x=2²×3²=36，y=2×5=10，
易知n=（1+1）×（1+1）=4，m=9，9+4=13符合題意．
此時(shí)有m-n=9-4=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：首先將360分解因數(shù)，然后根據(jù)所給條件進(jìn)行分析驗(yàn)證是完成本題的關(guān)鍵．