Question

【題目】寫出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)．

Answer 1

【答案】361，400，441，484，529，576，625

【解析】

一個(gè)合數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后，將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積．如：1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后為23×52×7，所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24個(gè)．(包括1和它自身)

如果某個(gè)自然數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)數(shù)的所有質(zhì)因子的個(gè)數(shù)均為偶數(shù)個(gè)，這樣它們加1后均是奇數(shù)，所得的乘積還能是奇數(shù)．而所有質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)均是偶數(shù)個(gè)的數(shù)為完全平方數(shù)．即完全平方數(shù)(除0外)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，反過來，有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)一定是完全平方數(shù)．

由以上分析知，我們所求的為360～630之間有多少個(gè)完全平方數(shù)？

18×18＝324，19×19＝361，25×25＝625，26×26＝676，所以在360～630之間的完全平方數(shù)為192，202，212，222，232，242，252．

即360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)為361，400，441，484，529，576，625．