Question

20．有甲、乙兩個同樣的杯子，甲杯裝滿水，乙杯是空的．第一次將甲杯里的$\frac{1}{2}$倒入乙杯，第二次將乙杯中水的$\frac{1}{3}$倒回甲杯，第三次將甲杯中的$\frac{1}{4}$倒回乙杯，第四次將乙杯中的$\frac{1}{5}$倒回甲杯，…，這樣反復(fù)倒 2015 次后，甲杯中的水是原來的幾分之幾？

Answer 1

分析 把甲杯中原有水量看作單位“1”，通過幾次計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，倒的次數(shù)為奇數(shù)次的時候，兩杯中的水一樣多．因為2015是奇數(shù)，故這時甲杯中的水與乙杯中水一樣多，均為$\frac{1}{2}$，所以甲杯中的水是原來的$\frac{1}{2}$．

解答 解：設(shè)甲杯中原有水為單位“1”，則甲、乙兩杯的總量也為“1”，乙的量=1-甲的量；
第1次倒出的量為：1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，第1次倒后：甲=$\frac{1}{2}$，乙=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
第2次倒出的量為：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，第2次倒后：甲=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$，乙=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$；
第3次倒出的量為：$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{6}$，第3次倒后：甲=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2}$，乙=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
第4次倒出的量為：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{10}$，第4次倒后：甲=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{10}$=$\frac{3}{5}$，乙=1-$\frac{3}{5}$=$\frac{2}{5}$；
第5次倒出的量為：$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{10}$，第5次倒后：甲=$\frac{3}{5}$$-\frac{1}{10}$=$\frac{1}{2}$，乙=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
可得：倒的次數(shù)為奇數(shù)次的時候，兩杯中的水一樣多均為$\frac{1}{2}$，
因為2015是奇數(shù)，所以倒2015次后，甲杯中的水是原來的$\frac{1}{2}$．
答：反復(fù)倒2015次后，甲杯中的水是原來的$\frac{1}{2}$．

點評 解答本題的關(guān)鍵是通過幾次計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用規(guī)律解答問題．