【題目】(慈溪市)圓周上放有N枚棋子,如圖所示,小洪先拿走B點的一枚棋子,然后沿順時針方向每隔一枚棋子拿走兩枚棋子,這樣連續(xù)轉(zhuǎn)了10周,9次越過A,當將要第10次越過A取走其它子的時候,小洪停下來,發(fā)現(xiàn)圓周上剩下20多枚棋子,若已知N是14的倍數(shù),請精確的算出圓周上現(xiàn)在還有多少枚棋子.
【答案】圓周上還有23枚棋子.
【解析】
試題分析:設(shè)圓周上余m枚棋子,因為從第九次越過A處拿走了2枚棋子,到第十次將要越過A處棋子時,小洪拿走了2m枚棋子,所以在第九次將要越過A處棋子時,圓周上有:m+2m=3m枚棋子;這樣在第八次將要越過A處棋子時,圓周上有32m枚棋子,…在第一次將要越過A處棋子時有39m枚棋子,在第一次將要越過A處棋子之前,小洪拿走了2(39m﹣1)+1枚棋子,所以原來共有N=2(39m﹣1)+1+32m=310m﹣1枚.然后分情況討論32m=310m﹣1必須是14的倍數(shù)滿足的條件即可.
解答:解:設(shè)圓周上余m枚棋子,因為從第九次越過A處拿走了2枚棋子,到第十次將要越過A處棋子時,小李拿走了2m枚棋子,所以在第九次將要越過A處棋子時,圓周上有:m+2m=3m枚棋子;這樣在第八次將要越過A處棋子時,圓周上有32m枚棋子,…在第一次將要越過A處棋子時有39m枚棋子,在第一次將要越過A處棋子之前,小李拿走了2(39m﹣1)+1枚棋子,所以原來共有N=2(39m﹣1)+1+32m=310m﹣1枚.
如果N=310m﹣1=59049m﹣1是14(2×7)的倍數(shù),那么m必須是奇數(shù),而59049m﹣1=(7×8435+4)m﹣1=7×8435m+4m﹣1是7的倍數(shù),那么4m﹣1就必須是7的倍數(shù),而m=20多枚,所以m只能等于21,23,25,27,29,但是m=21,25,27,29時4m﹣1都不是7的倍數(shù),只有m=23時4m﹣1才是7的倍數(shù),所以當N是14的倍數(shù),則圓周上還有23枚棋子.
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