Question

已知正整數(shù)a與b之和為432，a和b的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的和為7776，請(qǐng)問(wèn)a和b的乘積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法,求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法

專(zhuān)題：數(shù)的整除

分析：根據(jù)兩數(shù)的最小公倍數(shù)的意義及求法、最大公因數(shù)的意義及求法，弄清數(shù)量關(guān)系，設(shè)出這兩個(gè)數(shù)，然后進(jìn)行推理求解．

解答： 解：設(shè)a、b兩數(shù)的最大公約數(shù)M，令兩數(shù)為a=AM、b=BM，AB互質(zhì)，最小公倍數(shù)為ABM
AM+BM=（A+B）M=432=2⁴×3³ …①
ABM+M=（AB+1）M=7776=2⁵×3⁵ …②
則②÷①得（AB+1）÷（A+B）=2×3²=18
AB+1=18A+18B
等式右為偶數(shù)，則AB奇數(shù)，則A、B必然同為奇數(shù)．
（B-18）A=18B-1
A=（18B-1）÷（B-18）=（18B-324+323）÷（B-18）=18+323÷（B-18）
323=17×19 能被B-18整除，則有：
①B-18=17，B=35，A=37
或B-18=19，B=37，A=35
M=432÷（35+37）=6
兩個(gè)數(shù)就是 a=35×6、b=37×6
或交換順序兩個(gè)數(shù)的乘積=35×6×37×6=（7776-6）×6=46620
②B-18=323，B=341，A=1
M=432÷（323+1）不為整數(shù)，舍棄
綜上，ab兩個(gè)數(shù)是210、222，其乘積為46620．
答：a和b的乘積是46620．

點(diǎn)評(píng)：此題解題的關(guān)鍵是理解題意，弄清數(shù)量間的關(guān)系，明確最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的含義，進(jìn)而推理計(jì)算得出結(jié)論．