Question

平面上有5個(gè)三角形，這些三角形最多將平面劃分成（　�。﹤�(gè)部分．

• A、45
• B、54
• C、62
• D、72

Answer 1

考點(diǎn)：組合圖形的計(jì)數(shù)

專題：操作、歸納計(jì)數(shù)問題

分析：平面本身是1部分．一個(gè)三角形將平面分成三角形內(nèi)、外2部分，即增加了1部分．兩個(gè)三角形不相交時(shí)將平面分成3部分，相交時(shí)，交點(diǎn)越多分成的部分越多（見下圖），據(jù)此分析解答即可．

解答： 解：平面本身是1部分．一個(gè)三角形將平面分成三角形內(nèi)、外2部分，即增加了1部分，
兩個(gè)三角形不相交時(shí)將平面分成3部分，相交時(shí)，交點(diǎn)越多分成的部分越多（見下圖）；

由上圖看出，新增加的部分?jǐn)?shù)與增加的交點(diǎn)數(shù)相同，所以，再畫第3個(gè)三角形時(shí)，應(yīng)使每條邊的交點(diǎn)盡量多；
對(duì)于每個(gè)三角形，因?yàn)?條直線最多與三角形的兩條邊相交，所以第3個(gè)三角形的每條邊最多與前面2個(gè)三角形的各兩條邊相交，共可產(chǎn)生3×（2×2）=12（個(gè)）交點(diǎn)，即增加12部分；
因此，3個(gè)三角形最多可以把平面分成：1+1+6+12=20（部分）；
由上面的分析，當(dāng)畫第n（n≥2）個(gè)三角形時(shí)，每條邊最多與前面已畫的（n-1）個(gè)三角形的各兩條邊相交，
共可產(chǎn)生交點(diǎn)：3×[（n-l）×2]=6（n-1）（個(gè)），能新增加6（n-1）部分，
因?yàn)?個(gè)三角形時(shí)有2部分，所以n個(gè)三角形最多將平面分成的部分?jǐn)?shù)是：
2+6×[1+2+…+（n-1）]=2+6×

n(n-1)

2

=2+3n（n-1），
當(dāng)n=5時(shí)，可分成：2+3×5×（5-1）=62（個(gè)部分）．
答：平面上有5個(gè)三角形，這些三角形最多將平面劃分成62個(gè)部分．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：此題的解答關(guān)鍵是探尋其中的規(guī)律，1個(gè)三角形把平面分成2部分，2個(gè)三角形把平面分成8部分，3個(gè)三角形把平面分成20部分，按照此規(guī)律進(jìn)行解答即可．