Question

如圖所示，∠AOB=45°，過OA上到點O的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點作OA的垂線與OB相交，得到并標出一組黑色梯形，它們的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，…．觀察圖中的規(guī)律，第100個黑色梯形的面積S₁₀₀=

 

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Answer 1

分析：觀察圖形且由已知我們得到，（1）黑色梯形的上、下底的長分別是對應(yīng)的過OA上到點O的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點到O的距離（因為，∠AOB=45°構(gòu)成等腰直角三角形），（2）黑色梯形的上底長形成1，5，9，13，…一列數(shù)，下底長形成3，7，11，15，…一列數(shù)．觀察兩列數(shù)找出規(guī)律求出第100個黑色梯形的上底和下底長．（3）所有黑色梯形的高也能從圖形觀察分析得出．從而求出第100個黑色梯形的面積．

解答：解：已知，∠AOB=45°，過OA上到點O的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點作OA的垂線與OB相交，得到并標出一組黑色梯形，
所以得到，黑色梯形的上、下底的長分別是對應(yīng)的過OA上到點O的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點到O的距離（因為，∠AOB=45°構(gòu)成等腰直角三角形）．
觀察分析得到：黑色梯形的上底長形成1，5，9，13，…一列數(shù)，
下底長形成3，7，11，15，…一列數(shù)，
1，5，9，13，…是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，
3，7，11，15，…是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，
那么，它們的第100項分別為：
1+（100-1）×4=397，
3+（100-1）×4=399，
3-1=2，7-5=2，11-9=2，…，
所以每個黑色梯形的高都為2，
所以第100個黑色梯形的面積s₁₀₀=（397+399）×2÷2=796．

點評：此題考查的知識點是數(shù)字圖形的變化類，考查了學(xué)生觀察分析歸納問題的能力，解此題的關(guān)鍵是黑色梯形的上、下底的長分別是對應(yīng)的過OA上到點O的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點到O的距離（因為，∠AOB=45°構(gòu)成等腰直角三角形）和由3-1=2，7-5=2，11-9=2，…，所以每個黑色梯形的高都為2．