Question

100以內(nèi)約數(shù)個數(shù)最多的自然數(shù)有五個，它們分別是幾？

Answer 1

考點：約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理

專題：數(shù)的整除

分析：分這個數(shù)中只含有一個質(zhì)因數(shù)、兩個質(zhì)因數(shù)、三個質(zhì)因數(shù)分析探討即可得出答案．

解答： 解：①如果恰有一個質(zhì)因數(shù)，那么約數(shù)最多的是2⁶=64，
6+1=7（個），64有7個約數(shù)；

②如果恰有兩個不同質(zhì)因數(shù)，那么約數(shù)最多的是2³×3²=72和2⁵×3=96，
（3+1）×（2+1）=12
（5+1）×（1+1）=12
72和96各有12個約數(shù)；

③如果恰有三個不同質(zhì)因數(shù)，那么約數(shù)最多的是2²×3×5=60，2²×3×7=84和2×3²×5=90，
它們的約數(shù)個數(shù)都是：
（2+1）×（1+1）×（1+1）=12
所以60、84、90各有12個約數(shù)．
所以100以內(nèi)約數(shù)最多的自然數(shù)是60，72，84，90和96，它們都有12個約數(shù)．

點評：此題主要考查一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)的計算公式：a=p^α×q^β×r^γ（其中a為合數(shù)，p、q、r是質(zhì)數(shù)），則a的約數(shù)共（α+1）（β+1）（γ+1）個約數(shù)．