Question

對自然數(shù)列1，2，3，4，5，6，…進行淘汰，淘汰的原則是：凡不能表示為兩個合數(shù)之和的自然數(shù)均被淘汰．如：“1”應被淘汰；但12可以寫成兩個合數(shù)8與4的和，不應被淘汰．被保留下來的數(shù)按從小到大的順序排列，則第2006個數(shù)是

2015

．

Answer 1

分析：把自然數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類討論，能表示成兩個偶合數(shù)之和的最小自然數(shù)是：4+4=8；因為大于8的偶數(shù)比8大的部分是偶數(shù)，將大的部分的偶數(shù)加到4上一定是合數(shù)；所以大于8的偶數(shù)都可以表示為兩個合數(shù)之和的自然數(shù)，可以被保留下來；那么自然數(shù)列就只剩下了奇數(shù)，奇數(shù)能表示成兩個合數(shù)之和的最小自然數(shù)是：4+9=13，又根據(jù)數(shù)的奇偶性，任何大于13的奇數(shù)與13的差一定是偶數(shù)，將差偶數(shù)加到4上一定是合數(shù)，所以大于13的奇數(shù)都可以表示為兩個合數(shù)之和的自然數(shù)，可以被保留下來；這樣大于8的偶數(shù)和大于13的奇數(shù)都需要被保留下來；反之，小于8的偶數(shù)和小于13的奇數(shù)都需要被淘汰：即1、2、3、4、5、6、7、9、11；那么被保留下來的數(shù)是：8、10、12、13、14、15、16、…然后根據(jù)等差數(shù)列即可求出第2006個數(shù)是2015．

解答：解：最小的偶合數(shù)是4，最小的，奇合數(shù)是9；
能表示成兩個偶合數(shù)之和的最小自然數(shù)是：4+4=8；所以在大于8的偶數(shù)M都比8大2N，將增加的2N加到4上一定是合數(shù)即：M=（4+2N）+4，所以大于8的偶數(shù)都可以表示為兩個合數(shù)之和的自然數(shù)，可以被保留下來；
那么自然數(shù)列就只剩下了奇數(shù)，下面我們就研究奇數(shù)：
奇數(shù)如果能表示成兩個合數(shù)之和，根據(jù)數(shù)的奇偶性，說明這兩個合數(shù)必定是一奇一偶，
那么奇數(shù)能表示成兩個合數(shù)之和的最小自然數(shù)是：4+9=13，又根據(jù)數(shù)的奇偶性，任何大于13的奇數(shù)m與13的差一定是偶數(shù)2N，將2N加到4上一定是合數(shù)即：m=（4+2N）+9，所以大于13的奇數(shù)都可以表示為兩個合數(shù)之和的自然數(shù)，可以被保留下來；
所以小于8的偶數(shù)和小于13的奇數(shù)都需要被淘汰：即1、2、3、4、5、6、7、9、11；
那么被保留下來的數(shù)是：8、10、12、13、14、15、16、…
從12開始是一個等差數(shù)列，2006-2=2004，則第2006個數(shù)是：a₂₀₀₆=12+（2004-1）×1=2015；
答：被保留下來的數(shù)按從小到大的順序排列，則第2006個數(shù)是2015．
故答案為：2015．

點評：本題的思索重點是把自然數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)去討論，難點是根據(jù)數(shù)的奇偶性，確定大于8的偶數(shù)和大于13的奇數(shù)都需要被保留下來．