在平面上有過同一點(diǎn)P,并且半徑相等的n個(gè)圓,其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn),任何三個(gè)圓除P點(diǎn)外無其他公共點(diǎn),那么試問:
(1)這n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)平面區(qū)域?
(2)這n個(gè)圓共有多少個(gè)交點(diǎn)?
分析:(1)在圖中,設(shè)以P點(diǎn)為公共點(diǎn)的圓有1,2,3,4,5個(gè)(取這n個(gè)特定的圓),觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個(gè)?為此,我們列出表.

(2)與(1)一樣,同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來解決.為此,可列出表.
解答:解:(1)由分析的表易知
S2-S1=2,
S3-S2=3,
S4-S3=4,
S5-S4=5,

由此,不難推測:Sn-Sn-1=n.
把上面(n-1)個(gè)等式左、右兩邊分別相加,就得到:Sn-S1=2+3+4+…+n,
因?yàn)镾1=2,所以Sn=2+2+3+4+…+n=1+(1+2+3+4+…+n)=1+
n(n+1)
2
=
n2+n+2
2
,
答:n個(gè)圓過P點(diǎn)時(shí),可把平面劃分成
n2+n+2
2
個(gè)平面區(qū)域;

(2)由表容易發(fā)現(xiàn)
a1=1,
a2-a1=1,
a3-a2=2,
a4-a3=3,
a5-a4=4,

an-1-an-2=n-2,
an-an-1=n-1.
n個(gè)式子相加an=1+(1+2+3+4+…+n-1)=1+
n(n-1)
2
=
n2-n+2
2

答:這n個(gè)圓共有
n2-n+2
2
個(gè)交點(diǎn).
點(diǎn)評:本題考查了規(guī)律型:圖形的變化,解題關(guān)鍵是由特殊到一般,其中第(1)題因?yàn)镾n-1為n-1個(gè)圓把平面劃分的區(qū)域數(shù),當(dāng)再加上一個(gè)圓,即當(dāng)n個(gè)圓過定點(diǎn)P時(shí),這個(gè)加上去的圓必與前n-1個(gè)圓相交,所以這個(gè)圓就被前n-1個(gè)圓分成n部分,加在Sn-1上,所以有Sn=Sn-1+n.
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科目:小學(xué)數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

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(1)這n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)平面區(qū)域?
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