Question

在平面上有過同一點(diǎn)P，并且半徑相等的n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓除P點(diǎn)外無其他公共點(diǎn)，那么試問：
（1）這n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)平面區(qū)域？
（2）這n個(gè)圓共有多少個(gè)交點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）在圖中，設(shè)以P點(diǎn)為公共點(diǎn)的圓有1，2，3，4，5個(gè)（取這n個(gè)特定的圓），觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個(gè)？為此，我們列出表．

（2）與（1）一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來解決．為此，可列出表．

解答：解：（1）由分析的表易知
S₂-S₁=2，
S₃-S₂=3，
S₄-S₃=4，
S₅-S₄=5，
…
由此，不難推測：S_n-S_n-1=n．
把上面（n-1）個(gè)等式左、右兩邊分別相加，就得到：S_n-S₁=2+3+4+…+n，
因?yàn)镾₁=2，所以S_n=2+2+3+4+…+n=1+（1+2+3+4+…+n）=1+

n(n+1)

2

=

n2+n+2

2

，
答：n個(gè)圓過P點(diǎn)時(shí)，可把平面劃分成

n2+n+2

2

個(gè)平面區(qū)域；

（2）由表容易發(fā)現(xiàn)
a₁=1，
a₂-a₁=1，
a₃-a₂=2，
a₄-a₃=3，
a₅-a₄=4，
…
a_n-1-a_n-2=n-2，
a_n-a_n-1=n-1．
n個(gè)式子相加a_n=1+（1+2+3+4+…+n-1）=1+

n(n-1)

2

=

n2-n+2

2

．
答：這n個(gè)圓共有

n2-n+2

2

個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了規(guī)律型：圖形的變化，解題關(guān)鍵是由特殊到一般，其中第（1）題因?yàn)镾_n-1為n-1個(gè)圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當(dāng)再加上一個(gè)圓，即當(dāng)n個(gè)圓過定點(diǎn)P時(shí)，這個(gè)加上去的圓必與前n-1個(gè)圓相交，所以這個(gè)圓就被前n-1個(gè)圓分成n部分，加在S_n-1上，所以有S_n=S_n-1+n．