Question

探究并計算（大膽實踐，你一定能探索成功！）
觀察后面等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，將前面三個等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×

4=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接寫出下面式子的計算結(jié)果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=

2006

2007

．
（3）探究并計算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…

1

2006×2008

．

Answer 1

分析：（1）（2）通過觀察特例可知：一個分數(shù)的分母為兩個連續(xù)自然數(shù)的乘積，可以把這個分數(shù)拆成兩個分數(shù)相減的形式，據(jù)此解答；
（3）通過觀察發(fā)現(xiàn)，算式中的每一項中的分母是兩個自然數(shù)的乘積，并且都相差2，提出

1

2

，于是可把每一項拆成兩個分數(shù)相減的形式，然后通過加減相互抵消，求出結(jié)果．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2006

-

1

2007

，
=1-

1

2007

，
=

2006

2007

；

（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…

1

2006×2008

，
=(

1

2

-

1

4

)×

1

2

+(

1

4

-

1

6

)×

1

2

+(

1

6

-

1

8

)×

1

2

+…+(

1

2006

-

1

2008

)×

1

2

，
=(

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+

1

6

-

1

8

+…+

1

2006

-

1

2008

)×

1

2

，
=(

1

2

-

1

2008

)×

1

2

，
=

1003

2008

×

1

2

，
=

1003

4016

．

故答案為：

1

n

-

1

n+1

，

2006

2007

，

1003

4016

．

點評：此題考查了分數(shù)的拆項：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

1

ab

（a-b=n）=（

1

a

-

1

b

）×

1

n

．