Question

（1）n條直線，最多把平面分成幾個部分？
（2）n個平面，最多把空間分成幾個部分？

Answer 1

分析：（1）先分別求得1條、2條、3條直線兩兩相交最多可將平面分割成的區(qū)域個數(shù)，總結(jié)規(guī)律，進而求解．
（2）根據(jù)平面中的幾何元素與空間中幾何元素的對應(yīng)關(guān)系：線對應(yīng)面、面對應(yīng)體，理解空間是怎么被分割的，找到關(guān)系式，再類比數(shù)列中的累加法即可得解．

解答：解：（1）1條直線，將平面分為兩個區(qū)域；
2條直線，較之前增加1條直線，增加了2個平面區(qū)域；
3條直線，與之前兩條直線均相交，增加了3個平面區(qū)域；
…
n條直線，與之前n-1條直線均相交，增加n個平面區(qū)域；
所以n條直線分平面的總數(shù)為1+（1+2+3+4+5+6+7+8+…n）=1+

n(n+1)

2

=

n2+n+2

2

．
故n條直線，最多把平面分成

n2+n+2

2

個部分；

（2）假設(shè)n個平面可把空間分成f（n）部分，再加上第n+1個平面后可把空間分成f（n+1）部分，
因為第n+1個平面與前n個平面都相交，
所以第n+1個平面內(nèi)有n交線，且這n條直線最多可把第n+1個平面分成1+

n(n+1)

2

部分，
又因為平面的每一部分可把它原來所在的空間分成2部分，
所以f（n+1）=f（n）+1+

n(n+1)

2

，
f（n+1）-f（n）=1+

n(n+1)

2

=1+

n2

2

+

n

2

，
f（2）-f（1）=1+

12

2

+

1

2

，
f（3）-f（2）=1+

22

2

+

2

2

，
…
f（n）-f（n-1）=1+

(n-1)2

2

+

n-1

2

，
上式相加得：f（n）-f（1）=（n-1）+

1

2

×

n(n+1)(2n+1)

6

+

1

2

×

(n-1)n

2

=（n-1）+

2n3+3n2+n

12

+

n2-n

4

=

n3+5n

6

-1，
則f（n）=

n3+5n

6

+1=

1

6

（n³+5n+6）．
故n個平面，最多把空間分成

1

6

（n³+5n+6）個部分．

點評：（1）本題是規(guī)律探尋題，理清數(shù)據(jù)的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律是解題的關(guān)鍵．此類題型具有一定的技巧性，同學(xué)們需要注意．
（2）本題考查歸納推理，需要有比較好的抽象思維，同時考查累加法的應(yīng)用，屬難題．