Question

【題目】有兩個自然數(shù)，它們的和等于297，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和等于693．這兩個自然數(shù)的差等于多少?

Answer 1

【答案】33

【解析】

設這兩數(shù)為a，b，記a=(a,b)q1，b=(a,b)q2．

它們的和為：a+b＝(a,b)q1+(a,b)q2 =(a,b)(q1+q2)=297．…………………①

它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和為：

[a,b]＋(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)＝(a,b)(q1q2+1)=693，且(q1,q2)=1.………②

綜合①、②知(a，b)是297，693的公約數(shù)，而(297，693)＝99，所以(a，b)可以是99，33，11，9，3，1．

第一種情況：(a，b)＝99，則(q1+q2)＝3，(q1q2+1)＝7，即q1q2＝6＝2×3，無滿足條件的q1，q2；

第二種情況：(a，b)＝33，則(q1+q2)＝9，(q1q2+1)＝21，即q1q2＝20＝22×5，則q1＝5，q2＝4時滿足，a＝(a,b)q1＝33×5＝165，b＝(a,b)q2＝33×4＝132，則a-b＝165－132＝33；

第三種情況：(a，b)＝11，則(q1+q2)＝27，(q1q2+1)＝63，即q1q2＝62＝2×31，無滿足條件的q1，q2；

一一驗證第四種情況，第五種情況，第六種情況沒有滿足條件的的q1，q2．

所以，這個兩個自然數(shù)的差為33．