Question

一個棱長為6cm的正方體，把它切開成49個小正方體．小正方體的大小不必都相同，而小正方體的棱長以厘米作單位必須是整數(shù)．問：可切出幾種不同尺寸的正方體？每種正方體的個數(shù)各是多少？

Answer 1

考點：簡單的立方體切拼問題

專題：立體圖形的認識與計算

分析：1³=1，2³=8，3³=27，4³=64，5³=125，6³=216．（1）如果能切出1個棱長為5cm的正方體，那么其余的只能是棱長為1cm的正體體，共切出小正方體1+（6³-5³）÷1=92（個）．因為92＞49，所以不可能切出棱長為5cm的正方體．
（2）如果能切出1個棱長為4cm的正方體，那么其余的只能是棱長為1cm或2cm的正方體．設(shè)切出棱長為1cm的正方體有a個，切出棱長為2cm的正方體有b個，則有

a+23b+43=63 a+b=49-1

，解得b=14

6

7

，不是整數(shù)，不符合題意，所以切不出棱長是4厘米的正方體，
（3）設(shè)切出棱長為1cm的正方體有a個，棱長為2cm的正方體有b個，棱長為3cm的正方體有c個，則

a+8b+27c=216 a+b+c=49

，解之得a=36，b=9，c=4．所以可切出棱長分別為1cm，2cm和3cm的正方體，其個數(shù)依次為36，9和4．

解答： 解：1³=1，2³=8，3³=27，4³=64，5³=125，6³=216．
根據(jù)題干分析可得，不能切出棱長是5厘米和4厘米的小正方體，
設(shè)切出棱長為則1cm的正方體有a個，棱長為2cm的正方體有b個，棱長為3cm的正方體有c個，
則

a+8b+27c=216 a+b+c=49

，
解之得a=36，b=9，c=4．
所以可切出棱長分別為1cm，2cm和3cm的正方體，其個數(shù)依次為36，9和4．
答：一共可以切出棱長分別為1cm，2cm和3cm的三種不同的小正方體，其個數(shù)依次為36，9和4．

點評：解答此題的關(guān)鍵是分析討論，得出能切出的小正方體的棱長只能是1厘米、2厘米、3厘米，據(jù)此列出方程組即可解答問題．