Question

【題目】把若干個自然數l，2，3，…乘到一起，如果已知這個乘積的最末十三位恰好都是零，那么最后出現的自然數最小應該是多少?

Answer 1

【答案】55

【解析】

要求乘積的末十三位均是0，那么這個乘積至少含有13個質因數2，13個質因數5．

連續(xù)的自然數中2的倍數的個數遠大于5的倍數的個數．所以只用考慮質因數5的個數，有：13×5＝65，而1～65中，25、50均含有2個質因數5．

所以只需連乘到(13－2)×5＝55即可．也就是說1×2×3×…的積的末十三位均是0，那么最后出現的自然數最小應是55．

解法二：我們分段考慮質因數5的出現的情況：

在1至9中，有5本身，出現1次因數5；

在10至19中，有10、15，出現2次因數5；

在20至29中，有20、25，由于25=5×5，5出現了2次，所以共出現3次因數5；

在30至39、40至49中，各出現2次5的因子，至此共出現了1+2+3+2+2=10次5的因子．

在50至59中，有50、55、50=2×5×5出現了兩次5的次因子，所以這里共有3個5的因子．

所以到55為止，共出現13次5的因子，55為出現的最小自然數，使得2乘到它的結果中末尾有13個0．