Question

（1）下面的（a）、（b）、（c）、（d）為四個平面圖．數(shù)一數(shù)，每個平面圖各有多少個頂點？多少條邊？它們分別圍成了多少個區(qū)域？請將結(jié)果填入下表（按填好的樣子做）．

	頂點數(shù)	邊數(shù)	區(qū)域數(shù)
（a）	4	6	3
（b）
（c）
（d）

（2）觀察上表，推斷一個平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關系？
（3）現(xiàn)已知某個平面圖有999個頂點，且圍成了999個區(qū)域，試根據(jù)以上關系確定這個圖有多少條邊．

Answer 1

分析：根據(jù)組合圖形的計數(shù)方法，分別計算每個圖形的頂點、邊數(shù)、圍成的區(qū)域即可．

解答：解：（1）填表如下：

	頂點數(shù)	邊數(shù)	區(qū)域數(shù)
（a）	4	6	3
（b）	8	12	5
（c）	6	9	4
（d）	10	15	6

（2）由該表可以看出，所給四個平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間有下述關系：
4+3-6=1
8+5-12=1
6+4-9=1
10+6-15=1
所以，我們可以推斷：任何平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間，都有下述關系：頂點數(shù)+區(qū)域數(shù)-邊數(shù)=1．
（3）由上面所給的關系，可知所求平面圖的邊數(shù)．
邊數(shù)=頂點數(shù)+區(qū)域數(shù)-1
=999+999-1
=1997（條）；
注：本題第二問中的推斷是正確的，也就是說任何平面圖的頂點數(shù)、區(qū)域數(shù)及邊數(shù)都能滿足我們所推斷的關系．當然，平面圖有許許多多，且千變?nèi)f化，然而不管怎么變化，頂點數(shù)加區(qū)域數(shù)再減邊數(shù)，最后的結(jié)果永遠等于1，這是不變的．因此，頂點數(shù)+區(qū)域數(shù)-邊數(shù)=1；就稱為平面圖的不變量（有時也稱為平面圖的歐拉數(shù)--以數(shù)學家歐拉的名字命名）．
答：（2）一個平面圖的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關系是：邊數(shù)=頂點數(shù)+區(qū)域數(shù)-1；（3）根據(jù)以上關系確定這個圖有1997條邊．

點評：此題主要考查了計數(shù)方法的應用，根據(jù)四個不同的圖形分別列舉得出是解題的關鍵．